導入
数学では、 S 4で示される指数 4 の対称群の表現は、有限群の表現理論の適用例です。
複素数の本体上には、指数 4 の対称群の 5 つの既約表現、自明な表現、署名に対応する表現、次数 2 の 1 つと次数 3 の 2 つが存在します。一方は、署名に対応する表現とのテンソル積によって他方から取得されます。次数3 の表現の 1 つは、立方体を不変のままにする線形回転に対応します。
S 4表現の分析は、マシュケの定理、文字、 正規表現、誘導表現、 フロベニウスの相反性などの概念を説明します。
歴史
指数4の対称群と次数5の対称群の表現の歴史、および関連する交互群は、文字の理論にとって特別な役割を果たします。 1896 年 4 月 12 日がこの理論の一般的な誕生日と考えられています。フロベニウスはデデキントに宛てた一連の手紙の中で、言及されたグループの表現を分析し、彼が今後何年にもわたって開発した基礎を提示しています。
その方法が現在使用されているものとは異なる場合、フロベニウスは実際、現在では使われなくなったグループの決定要因を重要なツールとして使用しており、理論の基礎が概説されています。それは急速に発展し、ハインリヒ・マシュケは3 年後に彼の名前を冠した定理を実証しました。 1911 年に、William Burnside は、この記事で使用されているすべてのテクニックを含む静止画リファレンスブックの第 2版を出版しました。
表現
この段落の目的は、さまざまな表現を効果的に決定することです。次元1の場合、つまりtとσ は、その性質と融合するため、事実上決定されます。
群Ｓ ４は転置によって生成されるので、それらの表現を決定することだけが必要である。さらに、転置(12) 、 (23) 、 (34)がすべての転置、つまりグループ全体を生成することに気づきます。この段落の残りの部分では、これら 3 つの要素についてのみ表現が表現されています。他のものは、前の自己同型の積によって推定されます。
θの表現
4 つの要素1と(ab)(cd)の形式の共役クラスの 3 つの要素で構成される群H を考えてみましょう。それがサブグループであることを簡単に検証でき、さらに、それが 2 つの活用クラスの結合によって形成されるため、区別されます。次に群S 4 / Hを考えてみましょう。これは次数6のグループであり、 S 3と同型です。 s をS 4のS 4 / Hへの正準射影、および ( W , θ 2 ) を次数 2 のS 3の既約表現(次数 3 の対称群の表現を参照)とし、θ を等しいものとして定義しましょう。 θ 2 個のボーンに。射の合成は射である、( W , θ) が表現である。その性質を決定してみましょう。S 3には、 S 4の 12 個の値に対応する3 つの転置、つまり(abcd)型の転置と循環置換があります。 S 4のクラス(abc)に対応するS 3には次数3の要素が2 つあり、最終的に中立要素のクラスは部分群Hで構成されます。これから、この表現が実際に望ましい性質を持っていると推測します。
表現には望ましい性質があります。これは次数が 2 であるため、この文字は、グループHによって構成された、アイデンティティに関連付けられた活用クラスの 2 に実際に等しくなります。転置は表現によって 3 つのイメージを表し、各クラスには 2 つの転置と次数 4 の 2 つのサイクルが含まれ、文字に関連付けられた値は0に等しくなります。最後に、次数 3 のサイクルがクラス(abc)の要素によって形成され、その表現によって 2 つのイメージが生成されます。
その場合、その表現は三角形のアイソメトリのグループの表現になります。これは忠実ではなく、表現の各自己同型には 4 つの先行詞があります。右の図は、この表現を示しています。 3 つのラベルを使用して、三角形の 3 つの頂点に 1×2 + 3×4、2×3 + 1×4、1×3 + 2×4 という名前を付けました。 S 4の順列は、各ラベルの数字に直接作用します。したがって、転置(12)では、頂点 1×2 + 3×4 は不変のままですが、2 つの頂点 2×3 + 1×4 および 1×3 + 2×4 は並べ替えられます。この転置の作用が、転置(34)の作用、または循環順列(1324)または(1423)の作用と同一であることを確認できます。群Ｓ ４のこのような作用は、４次方程式を解くために使用される。
φの表現
群S 4が4次元空間の基底 ( e i ) に基づく置換によって機能するという事実によって定義される自然表現 を考えてみましょう。前の段落では、そのような表現がS 4の作用による安定部分空間を考慮することによって得られる φ 1の性質を持ち、 e iの和によって生成される直線の補足であることを示しました。
( e i ) の ( u i ) の通過行列Pによって定義される基底 ( u i ) を考慮すると、最後の 3 つのベクトルu iで構成される基底の表現 φ 1の行列として取得されます。
S 4の順列のΦ 1による画像は、頂点の正四面体 M 1 = (-1,-1,-1)、M 2 = (-1,1,1)、 M 3 = (1,-1,1) および M 4 = (1,1,-1) であり、これら 4 つの頂点を並べ替えます。転置(ab)は反射に、順列(ab)(cd)は 2 分の 1 回転に、順列(abc)は 3 分の 1 回転に、順列(abcd)は 4 分の 1 回転と反射の複合に対応します。
表現 Φ 2を取得するには、単に Φ 1の行列表現に文字 σ を乗算します。これは通常、次のジェネレーターを使用して取得されます。
立方体を不変のままにする 3 つの回転が認識されます。1 回目はx軸に沿って、2 回目はy軸に沿って、3 回目はZ軸に沿って行われます。
段落の最初の図は、表現 φ 2の幾何学的解釈を示しています。 (1423)の画像は赤い矢印で表され、 (1234)の画像は青で、 (1342)の画像は緑で表されます。立方体を回転すると、立方体の 4 つの対角線、または同等の対向する頂点の 4 つのペアが置換されます。
これらの順列の動作を次の方法で視覚化することもできます。立方体を不変のままにして回転すると、立方八面体も不変のままになります。転置(ab)は 2 つの対向する頂点を通過する軸の半回転に対応し、順列(ab)(cd)は正方形の中心を通過する軸の半回転に、順列(abc)は 3 分の 1 回転に対応します。三角形の中心を通過する軸の順列、および正方形の中心を通過する軸の 4 分の 1 回転における順列(abcd) 。次に、表現を回転すると、4 組の対向する三角形が並べ替えられます。