意味
数学では、集合E上の距離をマップと呼びます。
$$ {\forall x,y\in E : d(x,y)=d(y,x)} $$ | （対称） |
$$ {\forall x,y\in E : d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y} $$ | （分離） |
$$ {\forall x,y,z\in E : d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)} $$ | (三角不等式) |
注: 距離の定義では、通常、到着セットが以下であることが必要です。
- $$ {0 = d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)\leq 2d(x,y)} $$
さらに次の場合、距離は超距離であると言われます。
- $$ {\forall x,y,z\in E : d(x,z)\leq \max( d(x,y), d(y,z) )} $$
このような距離の例は、p 進評価の理論で決定的に発生します。超計量空間における三角不等式の幾何学的解釈により、すべての三角形は二等辺であると言えます。
代数的距離
有向線 (方向を持つ線、つまり非ゼロベクトルv によって生成される線) が通過するベクトル空間の 2 つの点 A および B を考えます。 A から B までの代数的距離を次のように実数と呼びます。
- 値は、A と B の間の距離 (上記で定義) です。
- 値がゼロ以外の場合、実数はベクトル AB が v と同じ方向にある場合は正であり、それ以外の場合は負です。
A から B までの代数的距離 ( d a ( A , B )で示される) には次の価値があることが証明できます。
- $$ {d_a(A,B) = \frac{\vec{AB}.\vec{v}}{\|v\|}} $$
代数距離は非対称であるため、距離ではないことに注意してください。
- da ( A , B ) = −da ( B , A )
2つのセット間の距離
E 1とE 2 を、距離dが与えられた計量空間の 2 つの部分とすると、これら 2 つのセット間の距離を次のように定義します。
- $$ {d(E_1,E_2) = inf\{ d(x,y)\ /\ (x,y) \in (E_1,E_2)\}} $$
注意:この「距離」は、上で定義された公理の意味でのEのすべての部分にわたる距離ではありません。特に、2 つのセット間の距離がゼロの場合、これらのセットが等しいと推定することはできません。
ただし、計量空間のコンパクトな部分間の実際の距離を定義することは可能です。これについては、 「ハウスドルフ距離」を参照してください。
ベクトル空間上の距離
特に、
| 1距離 | $$ {\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|} $$ | (マンハッタンからの距離) |
| 2距離 | $$ {\sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^2}} $$ | (ユークリッド距離) |
| p距離 | $$ {\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p}} $$ | |
| ∞距離 | $$ {\lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p} = \sup_{i}{|x_i-y_i|}} $$ |
2 距離により、ピタゴラスの定理の次元nの空間への適用を一般化することができます。これが最も直感的な距離です。
p距離は、 p = 1、2、または ∞ の場合以外ではほとんど使用されません。 1 距離には、正方形の球の厳密な定義を可能にするという面白い特殊性があります (矛盾表現を参照)。
球上の距離
- 参照:大圏距離
2 つの順列間の距離
順列間の距離を定義することもできます。次の例はゲノム再構成で広く使用されています。 S をさまざまな操作をモデル化する順列のセットとします。その場合、2 つの順列πとσ の間の距離は、このシーケンスがπ をσに変換するようにSの要素の積から形成される最小シーケンスの長さになります。
これらの距離は、シーケンス内に存在する無秩序をさまざまな方法で測定するために使用することもできます。次に、これらの測定値を使用して、さまざまな並べ替えアルゴリズムのパフォーマンスを分析したり、選択した障害の尺度に関連して最適な数の比較を実行する新しい並べ替えアルゴリズムを構築したりします。