数学では、平面は基本的な 2 次元オブジェクトです。直感的には、無限に広がる厚さゼロのシートとして視覚化できます。幾何学と三角法の基本的な作業のほとんどは 2 次元、つまり平面で実行されます。
定義
Euclidの要素では、平面図形の概念のみが定義されています。平面図形とは、直線で描かれた面内に含まれる図形の 1点が固定され、2番目の直線上を移動する図形です[ 1 ] 。残念ながら、この定義は、精度に欠ける所定の表面定義に依存しています。現在の数学のプレゼンテーションでは、ベクトルまたはアフィン平面が線形代数のオブジェクトとして定義されています。
- 平面(ベクトルまたはアフィン) は、次元 2 の Kベクトル空間またはKアフィン空間であり、 K は物体を表します。
最も頻繁に起こるケースは、フィールドKが実数の場合に対応します。したがって、複素平面は、実数体上の2次元のベクトル空間とみなされる複素数体を指定します。
重要なケースは、平面が実数体の3次元空間内の2次元アフィン部分空間を指定する場合です。この状況は単にジオメトリをモデル化しているだけです。
計画を定義するには、次のようなさまざまな方法があります。
- 3 つの異なる位置合わせされていない点を含む最小のアフィン空間。
- 線とこの線に属さない点を含む最小のアフィン空間。
- 混同されていない 2 本の割線を含む最小のアフィン空間。
- 混乱のない平行な 2 本の線を含む最小のアフィン空間。
- 点と法線ベクトルを含む最小のアフィン空間。
- 1 つの点と 2 つの非同一線上のベクトルを含む最小のアフィン空間。
その後、最後の 2 つの定義を使用して計画の方程式を作成します。
2 つの平面の相対位置
3 次元空間では、2 つの平面の相対位置は 2 つだけです。
- 平行: 厳密に (空の交差点) または混乱しています。
- セカント: それらの交点は直線になります。これらは直交することもできます (一方の線が、他方の 2 つの交差する線に直交します)。
平面と直線の相対位置
3 次元空間では、平面と直線の相対位置は 2 つだけです。
3次元空間の方程式
2 つのベクトルと 1 つの点による定義
それともポイントか
線形結合
方向ベクトルのAを通過する平面
- $$ {\Pi : \vec{OM} = \vec{OA} + \lambda\vec u + \mu\vec v} $$(ベクトル方程式)
または
- $$ {\Pi : \begin{cases} x = a_1 + \lambda v_1 + \mu u_1 \\ y = a_2 + \lambda v_2 + \mu u_2 \\ z = a_3 + \lambda v_3 + \mu u_3 \end{cases}\quad \mbox{avec } (\lambda,\mu)\in\R^2} $$(パラメトリック方程式)
共平面性
どちらか
これら 3 つのベクトルが同一平面上にあるためには、それらの混合積がゼロでなければなりません。
- $$ {(\vec{AM} \times \vec u) \cdot \vec v = [\vec{AM},\vec u,\vec v] = 0} $$
- $$ {= \begin{vmatrix} x-a_1 && u_1 && v_1 \\ y-a_2 && u_2 && v_2 \\ z-a_3 && u_3 && v_3 \end{vmatrix} = u_2v_3(x-a_1) + u_3v_1(y-a_2) + u_1v_2(z-a_3) – u_2v_1(z-a_3) – u_3v_2(x-a_1) – u_1v_3(y-a_2)} $$
用語を強調表示すると、次のようになります。
- $$ {[\vec{AM},\vec u,\vec v] = (u_2v_3 – u_3v_2)x\quad +\quad (u_3v_1 – u_1v_3)y\quad +\quad (u_1v_2 – u_2v_1)z\quad -\ u_2v_3a_1 – u_3v_1a_2 – u_1v_2a_3 + u_2v_1a_3 + u_3v_2a_1 + u_1v_3a_2\,} $$
4 つの部分、4 つの数字を区別し、それらをA 、 B 、 C 、 Dと呼びます。したがって、平面のデカルト方程式を書くことができます。
- $$ {\Pi : Ax + By + Cz + D = 0\,} $$
さらに、数値A 、 B 、 Cがベクトルの成分であることに気付きます。
- $$ {\vec n = \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \cdot \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}} $$
法線ベクトルと点による定義
直交性
通過する計画
- $$ {\Pi : \vec n\cdot\vec{AM} = 0} $$
と
- $$ {\vec{AM} = \vec{OM}-\vec{OA} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} – \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x – a_1\\ y – a_2\\ z – a_3\end{bmatrix}} $$
したがって、この定義は次のデカルト方程式につながります。
- $$ {\vec n\cdot\vec{AM} = \vec n\cdot(\vec{OM}-\vec{OA})= \vec n\cdot\vec{OM}-\vec n\cdot\vec{OA} = 0} $$
- $$ {\Rightarrow n_1x+n_2y+n_3z-(n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3) = 0\,} $$
私たちは通常、四つ子を識別します
- $$ {\Pi : Ax+By+Cz+D=0\,} $$
