オペレータの標準について詳しく解説

数学では、演算子ノルムまたは従属ノルムは、2 つの正規化されたベクトル空間間の境界演算子の空間上で定義されたノルムです。

EとF をそれぞれノルムが与えられた 2 つの正規化されたベクトル空間とする

そして 。

f をEからFまでの線形マップとします。

考えてみましょう

$$ {N=\sup_{\|v\|_1\leq1} \|f(v)\|_2} $$

。

もし

、 N は演算子fのノルムであり、以下に従属すると言います。 そして 。

プロパティ

• もし
  $$ {N < \infty} $$
  の場合、 fはN -リプシッツなので継続します。逆に、 fが連続の場合、
  $$ {N < \infty} $$
  : 次のようなε > 0が存在します。

$$ {\forall v~\|v\|_1 \leq \epsilon \implies \|f(v)\|_2 \leq 1} $$

したがって

$$ {N \leq \frac1\epsilon} $$

。

• したがって、 EからFまでの連続線形関数の空間L ( E , F )には従属ノルムを与えることができます。したがって、すべてのvに対して、
  $$ {f \mapsto f\cdot v} $$
  継続的です。
• Eが有限次元の場合、別の空間におけるEの線形適用は連続的です。

徹底した分析

関数解析では、有界線形演算子は、 v が非ゼロベクトルのセットを通過するときにノルムL ( v ) とvの比が制限される正規化空間間の線形マップLです。これは、これらの規範によって引き起こされるトポロジーのLの連続性に相当します。

R ^mからR ⁿへ、またはC ^mからC ⁿへの線形マップを表す行列Aの場合、 A が有界でなければならないことを直接示すことができます。実際、その機能は、

f ( v ) = || A ( v )||

||.|| は、任意のノルムに対してvの関数として連続です。ノルム 1 のベクトルvのセットは、閉じた有界部分としてコンパクトです。 Aの行列ノルムは、定義上、 fの上限です。この場合、コンパクト化という理由でこれが実現されます。

演算子ノルムはノルム (数学) の公理を満たすため、 VからWまでの有界線形演算子のセット自体がノルム空間になります。 Wが完了すれば完了です。

ここでは、 VとWの 2 つの異なる標準が介入していることに注意してください。 V = Wの場合でも、これらの空間上で 2 つの異なる規範を考慮することが可能です。実際、2 つの標準については ||.||そして |||。||| Vでは、 Vの恒等演算子には演算子ノルムがあり、 ||.|| を備えたVから渡されます。すべてのvに対して次のような定数 C が存在する場合に限り、 |||.||| に変換されます。

||| v ||| < C. || v ||

Vが有限次元の場合、この特性は保証されます。たとえば、次元 2 の場合、条件 || が保証されます。 v || = 1 および ||| v ||| = 1 は、0 を中心とする長方形と楕円をそれぞれ定義できます。比率や方向が何であれ、楕円が拡大された長方形の中に収まるように長方形を拡大したり、その逆も可能です。ただし、これは有限次元に関連した現象です。なぜなら、有限次元ではすべての規範が同等である、つまり、他の規範の定数倍だけ増加するからです。これは、とりわけ、トポロジーの等価性につながります。つまり、すべての規格が同じトポロジー、同じオープンスペースを定義します。しかし、無限次元では、これは当てはまりません。これは、たとえば、三角多項式の微分演算子D を考慮するとわかります。二乗平均の平方根をノルムとして取ることができます。D ( e ^{i n x} ) = i n e ^{i n xで}あるため、ヒルベルト空間の有限次元空間に適用されるDのノルムには制限がありません。 Dのような単純な演算子には演算子ノルムがない可能性があります。

基本的な定理は、 Baire の定理を使用して、 A が領域とイメージのバナッハ空間を持つ場合、 A は有界であることを示します。先ほどの例では、すべての平方積分可能なフーリエ級数に対してD を定義することはできません。実際、それらは連続的だが微分不可能な関数を表すことができることがわかっています。直観的には、 A が特定のベクトルのノルムを望むだけ増加させれば、特異点を凝縮することが可能です。他のベクトルの和であり、その || となるベクトルv を選択してください。 L ( v )||有限ではありえません – これは、 Aの定義域をVにすることができないことを示しています。

準同型性のノルム

E = Fの場合、通常は (必須ではない場合でも) を選択します。

。通常の標準については、実用的な公式があります。 、 注記の任意のベクトルそして 。 A = ( a _{i j} ) が正準基底におけるfの行列であることに注意してください。すると、次のようになります。

• もし
  $$ {\|x\| = \max_{1\leq i \leq n} |x_i|} $$
  , (無限ノルム) の場合、 fのノルムは次のようになります。

$$ {\max_{1\leq i \leq n} \sum _{1\leq j \leq n} |a_{ij}|} $$

• もし
  $$ {\|x\| = \sum _{1\leq i \leq n} |x_i|} $$
  , (ノルムインデックス 1) の場合、 fのノルムは次の値になります。

$$ {\max_{1\leq j \leq n} \sum _{1\leq i \leq n} |a_{ij}|} $$

• もし
  $$ {\|x\|^2 = \sum_{1\leq i \leq n} x_i^2} $$
  , (正準スカラー積) の場合、 fのノルムの 2 乗はスペクトル半径、つまり固有値の絶対値の最大値に等しくなります。
  $$ {f^*\circ f} $$
  ここで、 f ^{* は}fの随伴を表します。

f が対称準同型性である特殊な場合では、 fのノルムはfのスペクトル半径に等しくなります。

デュアルスタンダード

万一に備えて

絶対値で与えられます。したがって、 E上の各ノルムに対して、トポロジカル双対と呼ばれるEの連続線形形式のセットにノルムを与えることができます。