導入
数学、より正確には代数において、数体の理論は、これらの各分野から構築される有限のアーベル群、つまりイデアのクラスのグループを明らかにします。
理想クラス群の歴史と起源
数学で最初に遭遇したクラスのグループは、二次形式のクラスのグループでした。バイナリ二次形式の場合、その研究はカール フリードリッヒ ガウスによって行われ、合成法則は形状の特定の同値クラスで定義されます。したがって、有限アーベル群が得られます。
19世紀後半、クンマーは円分体の理論に取り組みました。その後、彼は、統一根を使用した単純な因数分解法によってフェルマーの最終定理の一般的な場合を完全に証明しようとする試みが失敗したのには十分な理由があることを理解しました。それは、算術基本定理の類似物が存在しないことです。これらの統一の根によって生成されるリングは、大きな障害でした。この因数分解の障害に関する最初の研究は、クンマーの研究に見られます。クンマーによって得られた障害は、現代の言葉で言えば、理想のクラスのグループの一部です。実際、クンマーは、このグループ内のp – ねじれを、円分体と呼ばれる物体について分離し、統一のp根によって生成されました。任意の素数pを特定し、それがフェルマーの問題を解決する古典的な試みの失敗の理由であると特定しました (正則素数 を参照)。
その後、デデキントは、クンマーが述べていなかった理想の概念を定式化しました。この言語は、特にクマーによって研究されたさまざまな例を統合するためのフレームワークを提供しました。代数整数の環は必ずしも素因数への一意の分解を持たないが (特に、それらは主イデアル環ではない)、それぞれの適切なイデアルが素イデアルの積として一意の分解を許容するという特性があることが示されました。つまり、代数整数のすべての環はデデキント環です)。このプロパティは、「分数イデアル」の記事で分析されています。理想のクラスのグループは、「どの理想が主な理想であるか?」という問題を研究するための理論的ツールです。これは、考慮されている環の主性の欠如を実際に測定します。特に、イデアルのクラスのグループ (有理数の有限拡張の場合は有限群) である場合に限り、すべてのイデアルが主です。 ) は 1 つの要素に削減されます。
理想的なクラスのグループの例
代数整数の最初のリングには、自明なクラスのグループが含まれています。これは、集合Z [ i ] に対応する相対整数またはガウス整数の場合です。ここで、 Z は相対整数の集合、 i は虚数単位を示します。この性質の他の集合は、歴史的にいくつかのディオファントス方程式を解くことを可能にします。エイゼンシュタインの整数またはディリクレの整数は、この配置に対応します。
この一連の例は、二次体の整数のリング、つまり有理数の二次拡張に対応します。難しい問題は、自明なクラス グループを持つこの種の環を識別するという問題です。このリストは最初にカール・フリードリッヒ・ガウスによって推測され、完全に実数ではない二次体の場合についてクルト・ヘグナーによって実証されました。しかし、ヒーグナーのデモンストレーションは、1967 年にハロルド・スタークがデモンストレーションを行うまで認められず、スタークは自分のデモンストレーションが実際にヘグナーのデモンストレーションと同等であることを示しました。この結果は現在シュタルク・ヘグナー定理として知られており、クラス数問題の特殊なケースです。二次体上の他の整数のリングは主ではありません。詳細な論文では、2 要素のクラス グループを持つZ [ i√5 ] の構造が説明されています。二次体の整数の環のクラスのグループの一般的な構成については、記事「二次体の整数の環の理想」で研究されており、この構造へのより教訓的なアクセスを提供します。
Kが体である場合、多項式リングK [ X1 , X2 , X3 ,…] は整数であり、可算無限の理想クラスのセットを持ちます。
