角の三等分は古典的な数学の問題です。幾何学的な問題で、円の二乗、立方体の複製と並ぶ古代の三大問題の一つです。この問題では、定規とコンパスを使用して角度を 3 等分します。
二等分線を作成することで角度を 2 つに分割するのが簡単な場合、正三角形を使用して直角を 3 つに分割するのが簡単な場合、多くの数学者は、任意の角度の三等分を実行する幾何学的な方法を長い間探してきましたが、無駄でした。 。紀元前3世紀から。紀元前、アルキメデスは調整による方法を提案しました。紀元前2世紀。紀元前、ニコメデスは、解決策に近づくために適切なコンコイドを設計しました。しかし、1837 年にピエール ローラン ヴァンツェルは、定規とコンパスでは解くことが不可能な問題の方程式の形式を示すことを可能にする定理を実証しました。角度の三等分の方程式はこの形式であるため、これらの規則に従って構築を実行することは不可能です。
ただし、角の三等分は、反対の図に示されているように、阿部尚 (1980) による構造を使用して 1枚の紙を折りたたむことによって可能です。
- シートの下端h 0と 3 つにカットされる角度を形成するように、シートの角 A を通る線d を引きます。
- 同じ幅(任意) の 2 つの水平バンドがシートの下部に描画されます (これは折りたたむことで簡単に行うことができます) 。h 1とh 2 をそれらを区切る新しい線と呼びます。
- 次に、点B (左端と右端の交点) が移動すると同時に、角 A が右h 1 (点A ‘) に移動するように、折り目pに沿ってシートを折ります。直線d上の点B’。
- A と A’ を通る直線t は、指定された角度の三等分線になります。h 0とtによって形成される角度は、 h 0とdによって形成される角度の 1/3 に相当します。
証明は初歩的なもので、四角形、交互内部または対応する角度、および軸対称に関する定理が必要です。
この正方形を使った折り方と同等の方法があります。
幾何学的構成と代数理論の関係については、 「構成可能な数」の記事で説明されています。代数的証明は、 Quadratic Extension Tower の記事にあります。