導入
定規とコンパスで構成できる数値は、定規 (目盛なし) とコンパスで構成できる 2 つの点に関連付けられた長さの測定値です。それで、
少なくとも、ギリシャの数学者と、彼らに倣い、この方法で構成可能な点と数を決定しようとしたすべての人々は、このように定義しました。
ギリシャ数学の時代には、平面内の線と円のみを解決する問題と、他のプロセスを伴う問題 (アルキメデスの螺旋やコンコイドなどのいわゆる「機械的」曲線の使用、円錐曲線の使用) を区別していました。 -固体問題と呼ばれます…)。この区別は、円の二乗、角の三等分、立方体の複製などの有名な問題の原因となります。
17 世紀まで、数学者は負の数に具体的な現実性を与えませんでした。ただし、定義を長さだけでなく、構成可能な点の座標にも適用すると便利です。
構成可能な数の定義
ここで、構築可能な点の概念の正確な数学的定義を示します (定規とコンパスを使用して暗黙的に)。紹介されている中級語彙も表記法も古典的なものではないことに注意してください。私たちは、この数学的概念を適切に分析するためにそれらを導入しました。
構築可能なポイント
1ステップでポイントを構築可能
E をユークリッド平面の部分集合とし、ここでは次のように同化します。
- Eの 2 つの異なる要素を通過する一連の線。
- Eの点を中心とし、 Eの任意の 2 点からの距離を半径とする円の集合。
C 1 ( E ) はEから 1 ステップで構築可能な点のセットであることに注意してください。
Eが有限であれば、 C 1 ( E )も有限であることが分かります。
nステップで構成可能なポイント
同じデータから始めて、当然のことながら再帰的に、 Eからnステップで構築可能な点の集合C n ( E )を定義します。 n = 1の場合、これは以前の構築です。それ以外の場合は、次のように尋ねます。
構築可能なポイント
最後に、予想どおり、 C ( E )と表すEから構成可能な点の集合は、 C n ( E )の(増加する) 和集合です。つまり、点P はEから構成可能であると言われます。 Pがnステップで構築できるようなnのものが存在する場合。
構成可能な数値
私たちは同じ枠組みの中に自分自身を置きます。つまり、ユークリッド平面が同化されます。
構築可能な数とは、集合から構築可能な数です。
構成可能な数値に対する演算
追加
引き算
x > y の場合
乗算
タレスの定理を簡単に使用すると、1×z = x × y と言えます。
分割
タレスの定理を同じように使用すると、次のように言えます。
- $$ {\frac{z}{1}=\frac{x}{y}} $$
これらの観察により、構成可能な数値のセット (負の距離を受け入れる場合) は可換体であると言えます。こうしてギリシャ人は、すべての正の有理数が構成可能であることを確立することができました。しかし、彼らの最初の驚きは最後の手術でした。
平方根抽出
A における直角三角形において、H が A からの高さの足である場合、次の事実を利用します。
- BH×BC = BA2
これは、三角形 ABC と HAB が相似であるという事実と、半円に内接する直角三角形の性質の直接的な結果です。
したがって、長さがx と 1 の間の値の最大値に対応する線分 [BC]、次に直径BC の円、次に BH が値の最小値に対応するように [BC] 上の点 H を追跡します。 x と 1 の間、最後に点 A で円と交わる H によって導かれる垂線(BC) です。等式 BA 2 = 1× xにより、次のことが保証されます。
したがって、平方根は構築可能です。