導入
数学、より正確にはガロア理論の枠組み内の代数学では、二次拡張は 2 次元体の拡張です。 Kが可換体、多くの場合有理数の場合、二次拡張L はKと、 K上の 2次元のベクトル空間を含む体になります。
二次拡張は、ボディ拡張の最も単純なケースです。これには多くのプロパティがあり、単純な代数拡張であり、体が標数 2 でない場合は分解体です。拡張は分離可能であり、正規であるため、ガロア関数であり、さらにはアーベル関数です。
二次拡張の概念には多くの応用例があり、クンマーの理論や、ガウス ヴァンツェルの定理の証明や単位の n 番目の原始根の場合の円分方程式の解決に使用される二次拡張タワーの概念を挙げることができます。はフェルマー素数です。
動機
二次拡張は、代数拡張の最も単純なケースに対応します。拡張部分が単体の要素からなり、その正方形がそれ自体と基体の要素の組み合わせである場合に相当します。
さらに、体が可換で特性 2 を持たないという条件、つまり、それ自体との単位の合計が0に等しくない場合、そのような拡張はガロア拡張の優れた特性をすべて備えています。理論の主要な結果はすべて、より簡単な実証で確立することが可能です。したがって、この理論は有理数または実数のフィールドの拡張の枠組みを超えています。
最初の応用例は、定規とコンパスで作成可能な多角形の研究のために 1801 年にカール フリードリッヒ ガウスによって発見されました。二次拡張のプロパティにより、構成可能な多角形ごとにアルゴリズムを決定できます (円分多項式を参照)。二次拡張のプロパティは、二次拡張タワーの特定のケースで使用されます。
この理論は、クンマー理論などの数論にも数多く応用されています。この分野には、研究の対象となっている未解決の問題がまだ残っています。
この記事の残りの部分では、基本本体はKで示されます。基本本体は 2 つの特定の特性のみを持ち、可換であり、特に指定がない限り、特性 2 を持ちません。
例
- 最もよく知られた例は、おそらく、複素数体に等しい実数の二次拡張です。
- 有理数体上の 1 と √2 の線形結合の集合は 2 次拡張です。この例は、代数拡張に関する記事で研究されています。
- F 3 を本体Z /3 Zとします。形式的な多項式P ( X )= X2 + 1を考えてみましょう。形式多項式は、変数ではなく不定変数を使用して構築された多項式です。 F 3では、多項式関数x 3とxが混同されており、形式多項式X 3と x は混同されています。この多項式がF 3の根を認めないことを検証するのは簡単です。実際、クラス 1 と 2 は平方 1 を持ち、クラス 0 は平方 0 を持ちます。したがって、多項式は既約です。多項式の環F 3 [X] と P[X] によって生成された理想との商を考えてみましょう。これはリングであり、このリングは有限体であるだけでなく、 F 3の二次拡張でもあります。これを検証するには、 P ( X ) によって生成された理想が最大であることを検証するだけで十分です。 F 3 は体であるため、 F 3 [ X ] はユークリッド環であり、したがって主です。このタイプの環の場合、イデアルは、素イデアルである場合にのみ最大になります。または、環が主である場合、既約要素によって生成されたイデアルは素数になります。この技術により、9つの要素で身体を構築することが可能になります。
