導入
数学、より正確にはガロア理論の場合の代数学では、体Kの体Lの拡張は、 LがK ( l ) に等しいようなLの要素l が存在する場合にのみ単純であると言われます。
単純な拡張は、 lが代数である場合にのみ有限です。それは要素の代数的性質の定義ですらあります。
原始要素定理は、有限拡張が分離可能な場合に限り、その拡張が単純であることを示しています。
モチベーション
シンプルな拡張機能のコンセプトが興味深いのは、次の 2 つの理由です。
シングル エクステンションは、完全な分類の対象となるボディ エクステンションの特殊なケースです。拡張の生成子が超越的 (つまり、拡張が有限ではない) で拡張が有理分数体と同型であるか、生成子が代数的である (つまり、拡張が有限であると言う) 場合、拡張は a と同型であるかのいずれかです。既約多項式によって生成されたイデアルによる、基体の係数による多項式のリングの商。
原始要素定理は、拡張が単純であるための十分な条件を与えます。拡張が有限で分離可能な場合、つまり、複数の根を持たない最小限の多項式を持つ要素によって生成される場合、拡張は常に単純です。現在では、分離可能な拡張子のケースが一般的です。たとえば、基本ボディが特性を持たない場合、または基本ボディが有限である場合、拡張は常に分離可能です。
例
- 複素数フィールドは、実数の単純な 2次元拡張です。それは純粋な想像力によって生み出されます。
- 2 の立方根と純粋な虚数iによって生成される体は、有理数の体の単純な拡張です。
実際、ガロア拡張の記事でデモンストレーションが行われています。
これは、より直接的なアプローチで実現できます。有理数の体は完全体です (分離可能拡張を参照)。つまり、最小多項式は多重根を認めません。原始要素定理は、有限代数拡張は単純であることを示します。拡張は 2 つの代数要素の拡張であるため、有限です。
より計算的な方法でこれを実現することも可能です。実際、物体は、2 の立方根と純粋な虚数iの合計である代数rの拡張です。 r が6次の有理係数を持つ多項式の根であることに注意するだけで十分です。記事「代数拡張」では、 rの単純拡張が有理数体上のベクトル空間とみなされる場合、基数 (1, r, r 2 , …, r 5 ) を持つ 6 次元を持つことが示されています。 iと 2 の立方根がこの基数の線形結合であることを検証すれば十分です。この方法は計算を使用しますが、強力な定理を使用せずに結果を見つけることができます。
- 実数のフィールドは、有理数のフィールドの単純な拡張ではありません。
拡張子には、少なくとも 1 つの超越数(π など)と次数 2 の代数(2 の平方根など) が含まれます。
より一般的には:
- 二次拡張は簡単です。
このプロパティは、二次拡張の定義から得られます。
- 分離可能な有限拡張はすべて単純拡張であり、したがって完全体上の有限拡張はすべて単純です。
これは原始要素定理の直接的な結果です。必然的に、次の例が得られます。
単純ではない有限の拡張があります。たとえば、 L が標数pの体kの係数を持つ 2 つの変数k ( X , Y )を持つ有理分数体であり、 K がLの部分体k ( X p , Y p )である場合、 L/ K は有限拡張であり、単純ではありません。実際、拡張は次数p 2ですが、 Lの要素は最大でもK上の次数 p です。
