導入
| ベクトル解析の記事 | |
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| 研究対象 | |
| ベクトルフィールド | スカラーフィールド |
| 偏微分方程式 | |
| ラプラス著 | 魚 |
| オペレーター | |
| ナブラ | 勾配 |
| 回転 | 発散 |
| スカラーラプラシアン | ビラプラシアン |
| ベクトルラプラシアン | ダランベルティアン |
| 定理 | |
| by グリーン | ストークス著 |
| ヘルムホルツ著 | 流れの分岐の |
| グラデーションの | 回転式 |
次の恒等式はベクトル解析に役立つ場合があります。
- $$ { \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c) = \mathbf b\cdot(\mathbf c \times \mathbf a) = \mathbf c\cdot(\mathbf a\times \mathbf b) } $$
- $$ { \mathbf a\times (\mathbf b\times \mathbf c) = (\mathbf c \times \mathbf b) \times \mathbf a = \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) – \mathbf c(\mathbf a\cdot \mathbf b) } $$
- $$ { (\mathbf a \times \mathbf b)\cdot(\mathbf c \times \mathbf d) = (\mathbf a \cdot \mathbf c)(\mathbf b \cdot \mathbf d) – (\mathbf a\cdot \mathbf d)(\mathbf b\cdot \mathbf c)} $$
- $$ { \nabla \times (\nabla \psi) = \mathbf 0 } $$
- $$ { \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf V) = 0} $$
- $$ { \nabla\times(\nabla\times\mathbf V) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf V)-\nabla^2\mathbf V} $$
- $$ { \nabla(\psi\phi) = (\nabla\psi)\phi + (\nabla\phi)\psi} $$
- $$ { \nabla \cdot (\psi\mathbf V) = (\nabla\psi)\cdot \mathbf V + (\nabla \cdot \mathbf V)\psi} $$
- $$ { \nabla \times (\psi\mathbf V) = (\nabla\psi)\times \mathbf V + (\nabla\times\mathbf V)\psi } $$
- $$ { \nabla(\mathbf A\cdot \mathbf B) = (\mathbf A \cdot \nabla)\mathbf B+(\mathbf B\cdot \nabla)\mathbf A + \mathbf A\times(\nabla\times \mathbf B) + \mathbf B\times(\nabla \times \mathbf A)} $$
- $$ { \nabla\cdot(\mathbf A \times \mathbf B) = (\nabla\times\mathbf A)\cdot \mathbf B – \mathbf A\cdot(\nabla\times\mathbf B) } $$
一般的なベクトルのアイデンティティ
このセクションでは、 a 、 b 、 cおよびd は任意のベクトルを表します。
書き方の規則
この記事では、次の規則が使用されます。
内積
2 つのベクトルaとbのスカラー積は次のように表されます。
- $$ { \mathbf a \cdot \mathbf b} $$
アインシュタインの総和規則では、次のように書かれています。
- $$ { \mathbf a \cdot \mathbf b = a_ib^i} $$
ベクトル積
2 つのベクトルaとbの外積は次のように表されます。
- $$ { \mathbf a \times \mathbf b } $$
アインシュタインの総和規則では、次のように書かれています。
- $$ { (\mathbf a \times \mathbf b)_i = {\epsilon_i}^{jk}a_jb_k} $$
レヴィ＝チヴィタの象徴
アインシュタインの総和規則を使用したデモンストレーションで頻繁に繰り返されるアイデンティティは、次のとおりです。
- $$ { {\epsilon_{ij}}^k{\epsilon_k}^{lm} = \delta_i^l\delta_j^m – \delta_i^m\delta_j^l} $$
δはクロネッカー記号です。
トリプル製品
- $$ { \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c) = \mathbf b\cdot(\mathbf c \times \mathbf a) = \mathbf c\cdot(\mathbf a\times \mathbf b) } $$
アインシュタインの総和規約では次のようになります。
- $$ { \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c) = a_i{\epsilon^i}_{jk}b^jc^k } $$
Levi-Civita 記号のインデックスを 2 回並べ替え、用語を並べ替えることで、次の同等の式が得られます。
初めに ：
- $$ { b^j{\epsilon_{jk}}^ic^ka_i = \mathbf b \cdot (\mathbf c \times \mathbf a)} $$
2番目：
- $$ { c^k{{\epsilon_k}^i}_ja_ib^j = \mathbf c \cdot (\mathbf a\times \mathbf b)} $$
- $$ { \mathbf a\times (\mathbf b\times \mathbf c) = (\mathbf c \times \mathbf b) \times \mathbf a = \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) – \mathbf c(\mathbf a\cdot \mathbf b) } $$
最初の等式は、ベクトル積の特性から得られます。
アインシュタインの総和規約では次のようになります。
- $$ { (\mathbf a\times (\mathbf b\times \mathbf c))_i = {\epsilon_i}^{jk}a_j{\epsilon_k}^{lm}b_lc_m } $$
Levi-Civita 記号とクロネッカー記号の特性を使用すると、右辺は次のように書き換えることができます。
- $$ { \delta_i^l\delta^{jm}a_jb_lc_m – \delta_i^m\delta^{jl}a_jb_lc_m = b_ia_jc^j – c_ia_jb^j } $$
右辺を説明すると、次の恒等式がわかります。
- $$ { (\mathbf a\times (\mathbf b\times \mathbf c))_i = b_i(\mathbf a\cdot \mathbf c) – c_i(\mathbf a\cdot \mathbf b)} $$
その他の製品
- $$ { (\mathbf a \times \mathbf b)\cdot(\mathbf c \times \mathbf d) = (\mathbf a \cdot \mathbf c)(\mathbf b \cdot \mathbf d) – (\mathbf a\cdot \mathbf d)(\mathbf b\cdot \mathbf c)} $$
アインシュタインの総和規約では次のようになります。
Levi-Civita 記号とクロネッカー記号の特性を使用すると、右辺は次のように書き換えることができます。
2 番目のメンバーは、用語を簡略化して並べ替えることによって取得されます。この右辺にはスカラー積の式があり、最終的には次のようになります。
演算子の組み合わせ
回転勾配
任意のスカラー場ψの回転勾配は常に 0 です。
- $$ { \nabla \times (\nabla \psi) = \mathbf 0 } $$
アインシュタインの総和規約では次のようになります。
- $$ { \left(\nabla \times (\nabla \psi)\right)_i = {\epsilon_i}^{jk}\partial_j\partial_k\psi} $$
インデックス j と k を並べ替えると (奇数の並べ替え)、同等の式が得られます。
- $$ { {-\epsilon_i}^{kj}\partial_k\partial_j\psi = – \left(\nabla \times (\nabla \psi)\right)_i} $$
符号の変化は、インデックスの奇数の順列から生じます。最終的には次のようになります。
- $$ { \left(\nabla \times (\nabla \psi)\right)_i = -\left(\nabla \times (\nabla \psi)\right)_i \Leftrightarrow \left(\nabla \times (\nabla \psi)\right)_i = 0 } $$
回転の発散
任意のベクトル場の回転の発散
- $$ { \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf V) = 0} $$
アインシュタインの総和規約では次のようになります。
- $$ { \left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf V)\right)_i = \partial_i{\epsilon^i}_{jk}\partial^j V^k} $$
インデックス i と j を並べ替えると (奇数の並べ替え)、同等の式が得られます。
- $$ { -\partial_j{{\epsilon_j}^{i}}_k\partial_i V^k = -\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf V)\right)_i } $$
符号の変化は、インデックスの奇数の順列から生じます。最終的には次のようになります。
- $$ { \left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf V)\right)_i = -\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf V)\right)_i \Leftrightarrow \left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf V)\right)_i = 0} $$
ラプラシアン
スカラー場のラプラシアン
スカラー場ψのラプラシアンは、勾配の発散として定義されます。
- $$ { \nabla \cdot (\nabla\psi) = \nabla^2\psi } $$
スカラーです。
アインシュタインの総和規則では、スカラー場のラプラシアンは次のように表されます。
- $$ { \nabla^2\psi = \partial_i\partial^i\psi } $$
ベクトル場のラプラシアン
ベクトル場のベクトル ラプラシアンは、その成分が成分のラプラシアンであるベクトルです。
アインシュタインの総和規則では、これは次のように記載されています。
- $$ { (\nabla^2 \mathbf V)_i = \nabla^2 (V_i) = \partial_j\partial^j(V_i) } $$
回転の回転
ベクトル場の回転の回転
- $$ { \nabla\times(\nabla\times\mathbf V) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf V)-\nabla^2\mathbf V} $$
アインシュタインの総和規約では次のようになります。
- $$ { \left(\nabla\times(\nabla\times\mathbf V)\right)_i = {\epsilon_i}^{jk}\partial_j{\epsilon_k}^{lm}\partial_lV_m } $$
Levi-Civita シンボルのプロパティと Kronecker シンボルのプロパティを使用すると、次の結果が得られます。
- $$ { \delta_i^l\delta^{jm}\partial_j\partial_lV_m – \delta_i^m\delta^{jl}\partial_j\partial_lV_m = \partial_i\partial^mV_m – \partial_j\partial^jV_i} $$
この最後の式の右側には、発散の勾配とラプラシアンが見つかります。最終的には次のようになります。
- $$ { \left(\nabla\times(\nabla\times\mathbf V)\right)_i = \left(\nabla(\nabla\cdot \mathbf V)\right)_i-\nabla^2(V_i)} $$