ビュフォン針 - 定義 - サイエンス・ハブ

導入

ビュフォンの針は、 18^世紀のフランスの科学者ジョルジュ・ルイ・ルクレール・ド・ビュフォンによって1733年に提案された確率実験です。この実験は、数値 Pi の近似を提供します。その分析は、2 次元の連続確率空間の単純なケースを実装します。

実践的なプロセス

寄木細工の床に何度も針を投げる作業です。寄木細工の床は、同じ幅の平行な板で構成されています。針が床の[少なくとも] 1 つの溝にまたがって落ちた回数 (「良好な」場合) を総投げ数と比較して数えます。投げる回数が増えると、商が特定の数値に近づき、 π が求められるようになります (たとえば、針の長さがボードの幅と等しい場合、この数値は² ⁄πになります₎ 。

数学の勉強

どちらか：

l寄木細工のスラットの幅に対応する正の実数。
針の長さに対応する正の実数を持ちます。
θ寄木細工の床の溝によって形成される幾何学的な角度に対応する0 ～ π/2の間の実数値。
r針の中心から最も近い溝までの距離に対応する正の実数。

仮説に従って、すべての対称性を使用すると、次のように考えることができます。

θ は[0;π / 2]に関する連続一様法則に従います。
rは[0; l /2]

シンプルな幾何学的な視点

この針をn 回投げる ( n は十分大きい) と考えてください。次に、端から端まで配置された針のすべての異なる位置がn個の辺を持つ多角形を形成すると考えることができます。 nが大きいほど、この多角形は円に近づきます。この円の周長P は次のようになります。

$$ {P=n \times a} $$

。この円の直径は次のようになります。

$$ {D = P/\pi = n \times a/\pi} $$

。問題は結局、多角形によって何本の平行な溝が切られているのか、あるいは円の中に何本の溝があるのかを知ることになります。

カットされる溝の数Rは、 R = 2 D / lで与えられます。最後に、針が溝を切る確率は次の式で与えられます。

$$ {p = \frac{R}{n} = 2\times \frac{D}{l}\frac{1}{n} = 2 \times \frac{na}{\pi \times l \times n}} $$

そして簡素化する

$$ {p = \frac{2a}{\pi\times l}} $$

境界例

孤立した投げを考えてみましょう。針がその先端で溝の点に重ならずに触れている場合、斜辺が針の半分で、一方の辺が長さrで、もう一方の辺が溝の一部である直角三角形が得られます。すると、次のようになります。

$$ {\sin \theta = \frac r{\frac a2} \Leftrightarrow \frac a2 \sin \theta = r} $$

不利なケース

したがって、針が完全にボード上にある場合は、次のようになります。

$$ {\frac a2 \sin \theta < r} $$

有利なケース

少なくとも 1 つの溝 (最も近い溝) と重なる場合は、次のようになります。

$$ {\frac a2 \sin \theta > r} $$

分析

ここでは単純なケース ( a < = l ) を扱います。

離散確率の場合、「合計」ケースに対する「有利な」ケースの商を形成するのと同じように、

我々は持っています

$$ {[0;\frac {\pi}2]} $$

$$ {[0;\frac l2]} $$

針が溝に落ちる確率の式:

$$ { \frac {Aire_{favorable}}{Aire_{totale}}} $$

(空間( r ,θ)と極限を描画します):

$$ {P\left(favorable\right) = \frac {\int_{0}^\frac{\pi}2 \mathrm d \theta \int_{0}^{\frac a2 \sin \theta} \, \mathrm d r}{\frac {\pi}2 \frac l2}} $$

$$ {P\left(favorable\right) = \frac {4}{\pi l} \int_{0}^\frac{\pi}2 \frac a2 \sin \theta \, \mathrm d \theta = \frac {2a}{\pi l}} $$

多数回投げた後は、大数の法則に従って、実際の値が理論値に近づく傾向があります。

$$ {\frac {2a}{\pi l}} $$

。実験のデータ ( lとa ) がわかれば、簡単に pi を見つけることができます。

実際、 p をP を推定する比率であるとします。その場合、次の推定量が得られます。

$$ {\pi=\frac {2a}{lp}} $$

分析$$ {l \leq a} $$

ここでは、針が寄木細工の板の間の距離よりも長い場合を扱います (編み針を考えてください)。「有利な」ケースは依然として「針が（少なくとも）寄木細工の板を横切った」ということです。

「不利な」ケースは数学的に表現するのが簡単なので、次のようになります (空間( r ,θ)と極限を描画します)。

$$ {P=1-\dfrac{\int_0^{\arcsin(\frac la)}d \theta \int_{\frac a2 \sin \theta}^{\frac l2} d x}{\frac {\pi l}{4}}} $$

中間の手順を実行して、以下を取得します。

$$ {P=\frac {2a}{\pi l}\left ( 1-\sqrt{1-\frac {l^2}{a^2}}\right )+\left ( 1-\frac {2 \arcsin \frac la}{\pi} \right )} $$

l = aの場合、前の式が見つかることを確認します ( l > = a : 短い針で確立)。

この式では、引き続きπ を(1 − p )の関数として推定することができます。ここで、 (1 − P )にはπ が係数として含まれる (実際に行われる) ため、 p はP を推定する割合です。

ポーズをとることで

$$ {\frac la = u} $$

u = 0の付近を拡張すると、非常に長い針の確率の式 (近似式) が得られます。

$$ {P_{a>>l}=1-\frac l{\pi a}} $$

これは、期待どおり、非常に大きい場合は 1 に近づく傾向があります。

デジタルシミュレーション

πの推定における誤差の割合 (100万回の試行)
$$ {\frac al} $$	0.1	0.2	0.5	1	2	5	10	100
正確な式	0.4	-0.1	0.1	0.001	-0.1	-0.06	-0.7	1.05
近似式	–	–	–	–	-2	-0.5	-0.3	1.05

結論:

l = aの場合に最良の推定値が得られます
推定値の低下は急速ですが、すぐに安定します
仮説l > = a は実験を行うのに必要ではない
近似式（大規模な場合）は、その応用分野で良い結果をもたらします

シミュレーションプログラム（Python）

 # l=2 とし、[0,1] で一様な x を生成する必要があります。 # [0, pi/2] で一様なシータも生成する必要があります。 # 次のようになります。 # sin(theta) > 2x/a の場合は成功#それ以外の場合は失敗しますインポートランダムインポート数学Max=1000000 for a in [ 0.2, 0.4, 1, 2, 4, 10, 20, 200 ] : Count=0 for i in range ( Max ) : x=ランダム。均一( 0,1 ) t=ランダム。 uniform ( 0, math . pi /2 ) if math . pi /2 ) sin ( t ) > 2 * x/ float ( a ) : Count+=1 if a < =2: print a/2.,100 * ( a/ ( float ( Count ) / float ( Max ) ) - math . pi ) /数学。 pi else : P= float ( Count ) / float ( Max ) print a/2.,100 * ( float ( a ) / ( P-1. ) * ( 1.- math . sqrt ( 1- ( 2/ float ( a ) ) ** 2 )) - 2/ ( P-1. ) * math asin ( 2./float ( a ) ) - math pi ) / math . piプリントa/2.,100。 * ( 2/ float ( a ) / ( 1.-P ) - math . pi ) / math .円周率

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