導入
数学では、部分和のシーケンスが収束しない場合、無限級数は発散していると言われます。
実数または複素数の系列に関して、収束の必要条件は、系列の一般項が0に向かう傾向があることです。対比すると、これは発散級数の多くの例 (すべての項が1に等しいものなど) を示します。一般項が0になる傾向がある発散系列の例は、調和系列です。
その発散は中世に数学者のニコール・オレズムによって証明されました。
それでも、場合によっては、「合計」または「合計可能性」と呼ばれる手順を使用して、有限値を系列に帰属させることができます。この手順にはいくつかの変形があります。たとえば、Grandi シリーズ 1-1+1-1+1… には値 1/2 が割り当てられます。
この考え方は理論物理学の基本であり、多くの場合、 摂動理論によってのみ解を計算することができ、摂動理論では、ほとんどの場合発散する系列の形で結果が得られます。
合計メソッドのプロパティ
総和法は、実数項または複素数項をもつ系列の部分和シーケンスのセットの特定のサブセットから開始する関数です (これは当然、実数または複素数項をもつシーケンスのセットと同一視されますが、これは通常のことであり、したがって実際的ではありません)。系列について話すとき、および実数または複素数のセットの値について話すときに、この識別を行うためです。次の表記を修正します: (a n )は実数または複素数のシーケンス、 sは一般項a nのシリーズ、その部分和は次のように表されます。
- 規則性がある。一連の部分和(s n )が限界Sに向かって収束するとすぐに、同一性M(s)=Sが検証される場合、総和法Mは正規であると言われます。
- 直線性。メソッドMは、その開始セットがベクトル空間構造 (実数または複素数) を許容し、到着ラインでのこの空間の線形適用を定義する場合、線形であると言われます。
- 安定性。その一般項がa’ n =a n+1 (またはその部分和がs’ n =s n+1 -s 0 ) であると仮定して、シフトによって系列sから 2 番目の系列s’を定義します。 Mの開始集合に対するs’のメンバーシップがsのメンバーシップと同等であり、この場合、次の恒等式がある場合、メソッドMは安定していると言われます: M(s’)=M(s )- 0 。
Borel 合計などの一部の重要なメソッドは安定していません。数値的な観点から見ると、規則性と線形性の特性を放棄することで、パデ近似のような強力な方法に到達することも可能になります。
2 つの異なる合計メソッドの比較は、次の概念を通じて行うことができます。2 つのメソッドAとB は、両方が合計する各系列に同じ値を割り当てる場合、互換性がある (または一貫している) と言われます。互換性のある 2 つの方法の間で、一方がもう一方が合計できるすべての系列を合計できた場合、その方法の方が強力であると言われます。
アーベル定理とタウバー定理
加算方法Mは、それが提供する結果が、収束系列に関して、古典的な意味でのこれらの系列の合計と同じである場合、正規と呼ばれます。このような結果はアーベルの定理の一般名を持ち、収束円上の整数列の値に関するアーベルの定理はプロトタイプです。加算方法Mが固定されており、この方法によって加算された系列 s が特定の追加条件 (方法に応じて) を満たすことを保証する逆結果は、タウバーの定理と呼ばれます。追加の条件を求めることは重要です。そのような条件なしでタウバーの定理を検証する方法では、実際には収束する系列以外の系列を合計することができず、したがって発散系列の研究には興味がありません。
収束級数にその和を代入する演算子は線形であり、ハーン・バナッハの定理によれば、部分和の系列が有界である級数空間上の線形演算子に拡張できます。しかし、この問題への取り組み方はあまり有益ではないことが判明しました。一方で、このようにして得られた実証はゾーンの補題に基づいており、したがって非建設的です。一方、一意性の結果はなく、得られたさまざまな合計方法にはあまり互換性がありません。
したがって、発散級数の総和の問題は、アーベルの総和、セザーロの補題、またはボレルの総和などの明示的な方法とそれらの関係の探索に集中します。タウバーの定理も重要な主題を形成します。特に、フーリエ解析とバナッハ代数の研究からの手法との間の予期せぬつながりを明らかにしたウィーナーのタウバー定理(en)を通じて。
発散級数の合計は、パデ近似などの外挿法や数列変換法にもリンクされています。
