ハーン・バナッハの定理について詳しく解説

事前に翻訳を行うとしても、原点はCであると仮定します。したがって、 L はC と一致しないため、原点を避けるアフィン部分空間になります。

凸Cのゲージをpとします。これはサブリニアであるため、他のゲージと同様に凸状です。ゲージの定義自体から、 Cのすべてのxについて、次のことが明らかです。

。 C が開いていると仮定したので、もう少し進めることができます。一方で、 C は0の近傍であり、 0から来る開いた半線にはCの点が含まれており、そこからpは価値 ;一方で、幅広い不平等を改善することはできますそして、 Cの点が厳密な不等式p ( x ) < 1によって特徴付けられることを問題なく指定します。準線形関数についてはこれくらいです。

G がLによって生成されたベクトル部分空間を表すものとします。以来

、アフィン部分多様体L はGの余次元 1 であり、 L が方程式f ( x ) = 1のGの部分となるように、 G上に 1 つ (そして 1 つだけ) の線形形式f が存在します。線形フォームを拡張するのはこれくらいです。

最後に、 Lのxについて、

（以来 ) ただし、 f ( x ) = 1 。条件したがって、 Lで検証されます。 fとpの正の均一性を利用することで、その有効範囲をGの厳密な半空間に拡張します。もう一方の半空間では、 f は負またはゼロの値をとりますが、どこでも同様に、 p は正またはゼロの値をとります。不平等したがって、 Gのどこでも当てはまります。

この定理のいわゆる「分析」バージョンのすべての前提が整っています。それでは、それを適用してみましょう。これは、再びfで示される新しい線形形式を提供し、今回はE全体で定義されます。 H を方程式f ( x ) = 1で表すアフィン超平面とします。構造上、それは実際にL を含む超平面です。

ここでCの点xとしましょう: この点については、

( f はハーン・バナッハの解析形式によって生成されたため)、 p ( x ) < 1 (凸状の開いたCにあるため)。それで 、そしてx はHにありません。 CとHが満たされていないことを確認しました。

最後に、位相ベクトル空間の超平面は必然的に閉じているか、密になっています。ここで、 H は0の近傍Cと一致しないため、密ではありません。ということで閉店です。

パート 1: 次元を獲得する

まず、線形f を1 次元を獲得してGよりも大きな空間に拡張します。 Gの外側にあるVの要素v ₀を取ってみましょう ( G = Vがなく、開始する前に終了している場合)。

fのベクトル部分空間への拡張

次の式で定義することで実行されます。

$$ {f(x + \lambda v_0) := f(x) + \lambda \alpha, x \in G, \lambda \in {\Bbb R}} $$

ここで、 αは実数であり、 fの増加条件が次の式で検証されたままになるように、慎重に選択する必要があります。

。

この拡張方法がαの選択に関係なく、線形形式を提供することは明らかです。

上限条件は、 Gの各xおよび各実数λについて、次の不等式が検証される場合にのみ検証されます。

$$ {f(x)+\lambda \alpha \leq p(x + \lambda v_0)} $$

。

λ = 0の場合は仮説によって正当化されることに注意した後、次の条件に対応する制約のみに関心を持つことができます。

。したがって、 λ > 0に対応する条件とλ < 0の条件を分離することが賢明です。最初のケースではμ = λ 、2 番目のケースではμ = − λに注目することで、2 つの不等式の族を検証する必要があります。

$$ {f(x)+\mu \alpha \leq p(x +\mu v_0)} $$

(ここで、 x はGを通過し、 μ は Gを通過します

$$ {\R^{+*}} $$

）。

$$ {f(x)-\mu \alpha \leq p(x- \mu v_0)} $$

(ここで、 x はGを通過し、 μ は Gを通過します

$$ {\R^{+*}} $$

)

基本的な操作により、次の形式でグループ化できます。

$$ {{1\over\mu}\left[f(x)-p(x-\mu v_0)\right]\leq \alpha \leq {1\over\mu}\left[p(x+\mu v_0)-f(x)\right].} $$

注意しましょう

そして前の不等式の終わり。したがって、 fの有効な拡張を定義できるための必要十分条件は、間隔[ a _{x ,μ} ; b _{x ,μ} ] (ここで、 x はGを横断し、 μ はを横断します ) 空ではない交差点があります。しかし、これは次と同等です。

$$ {\mu, \nu > 0, a_{x,\mu} \leq b_{y,\nu}} $$

しかし、この条件は、 pの凸性、 fの線形性、およびGの想定される真の増加を利用する、複雑だが簡単な検証によって達成されます。実際、 Gのx 、 yおよびすべてのμ,ν > 0に対して、次のようになります。

$$ {b_{y,\nu} – a_{x,\mu} = {1\over\nu}\left[p(y+\nu v_0)-f(y)\right] – {1\over\mu}\left[f(x)-p(x-\mu v_0)\right]} $$

$$ {={{\mu+\nu}\over{\mu\nu}}\left[{\nu\over{\mu+\nu}}p(x-\mu v_0)+{\mu\over{\mu+\nu}}p(y+\nu v_0)-{\nu\over{\mu+\nu}}f(x)-{\mu\over{\mu+\nu}}f(y)\right]} $$

$$ {\geq{{\mu+\nu}\over{\mu\nu}}\left[p\left({\nu\over{\mu+\nu}}(x-\mu v_0)+{\mu\over{\mu+\nu}}(y+\nu v_0)\right)-f\left({{\nu x}\over{\mu+\nu}}+{{\mu y}\over{\mu+\nu}}\right)\right]} $$

$$ {={{\mu+\nu}\over{\mu\nu}}\left[p\left({{\nu x+\mu y}\over{\mu +\nu}}\right)-f\left({{\nu x+\mu y}\over{\mu +\nu}}\right)\right]\geq 0} $$

。

パート 2: 超有限再帰の実行

段階的に推論すると、 f をより大きな空間に拡張できることがわかります。 GがVにおいて有限余次元である場合、このように定義されたプロセスは停止します。それ以外の場合は、選択公理を使用します。

このために、ペアのセット( M , g )を考慮します。ここで、 M はG を含むVのベクトル部分空間であり、 g はf を延長する M 上の線形形式であり、部分的に順序付けされています。による：

$$ {(M_1, g_1) \leq (M_2, g_2) \Longleftrightarrow M_1 \subset M_2} $$

そして

$$ {\forall x \in M_1, g_1(x) = g_2(x)} $$

。

カップルの集合は帰納的です。確かに、もし

が完全に順序付けられたチェーンである場合、次のようにします。

$$ {M = \bigcup_{i \in I} M_i} $$

M はベクトル部分空間です。 (一般に、ベクトル空間の和集合はベクトル空間ではありませんが、ここではベクトル空間の場合に当てはまります。

完全に注文されています）。

空間M上の線形形式g を次のように定義します。

g ( x ) = g _i ( x ) if

$$ {x \in M_i} $$

。

このgの定義が正しいことは簡単に検証できます。 ( M , g ) はチェーンの上限になります。

。ゾーンの補題が適用され、 f が拡張される最大部分空間N を見つけることができます。

ここで、 N がVに等しくない場合、証明の最初の部分は、 f ( Nで定義された) をNよりも厳密に大きい空間に拡張できることを示しますが、これはNの最大値と矛盾します。