導入
集合論における連続体仮説は、ゲオルグ・カンターによるもので、カーディナリティが自然整数のセットのカーディナリティと実数のセットのカーディナリティの間に厳密に存在するセットは存在しないと述べています。言い換えれば、カーディナリティの意味で、自然数のセットよりも厳密に大きいセットには、実数のセットの「コピー」が含まれている必要があります。カントールは、実数のセットの濃度が整数の濃度よりも厳密に大きいことを実証し (そして 1874 年に発表)、後に彼はこの仮説を定式化しました。この仮説は、実数直線のサブセットと彼の階層の分析から得られました。無限の枢機卿であるが、彼はそれを実証しようとしたが無駄だった。このデモンストレーションは、ヒルベルトの 23 の問題の有名なリストの最初のものであり、1900 年にパリで開催された国際数学者会議のために、当時新興世紀の数学の研究を導くために彼が作成したものでした。
ポール・コーエンが、一般にカントールの適切な形式化であると考えられているZFC集合論の公理からこの仮説が演繹できないことを示す強制手法を導入したのは、ずっと後の 1963 年でした。クルト・ゲーデルは1938 年に、この仮説が ZFC においても反駁できないことを証明していました。したがって、これは ZFC 集合理論の公理から独立しているか、この理論では決定不可能ですらあります。
コーエンの強制法はその後、集合論において数多くの発展を遂げてきました。その結果によっても、このテーマへの取り組みは終了しませんでした。 ZFC 理論に追加する自然仮説と、連続体仮説に賛成か反対かを決定できる議論の探索は、依然として集合論の活発な主題を構成しています。
連続体仮説の定義
私たちは定義します
どちらか
決定不能性
クルト・ゲーデルは 1938 年に、たとえばツェルメロ・フランケルの公理によって定義される集合論に連続体仮説を追加しても、たとえ「選択の公理」によって増加したとしても、この理論の一貫性はまったく変わらないことを示しました。
ポール・コーエンは 1963 年に、ツェルメロ・フランケルの公理に基づく集合論では連続体仮説が証明できないことを示しました。したがって、集合論から独立しています。
約 30 年前に始まった、ツェルメロ・フランケル理論に追加する「自然な」公理 (決定の公理、偉大な枢機卿の公理など) の探求は、W の研究のおかげで、おそらく次のことを可能にするでしょう。ゲーデルはすでに疑っていた、連続体の仮説をすぐに解決します…否定的なもの（以下を参照）。
与えられた公理系から実証または反証できないステートメントの存在に驚く必要はありません。これは、たとえば、彼の「公理的」系に関連したユークリッドの公準の場合です。
連続体仮説は、分析理論や測定理論の記述と無関係ではありません。
歴史的に、大規模な集合クラスを支持する数学者は連続性の仮説を拒否しますが、より制限された集合オントロジーを支持する数学者は連続性の仮説を受け入れます。
