この記事は、ローレンツ変換を計算することによって本質的なことが推定できることを示すために、意図的に計算的であることを目的としています。
 |
| この物理学の記事では、 相対性理論シリーズの一部 |
| 基本 |
| 歴史 –理論 |
| ローレンツ – アインシュタイン – マッハ |
| ローレンツ変換 |
| ファインマン – ポアンカレ – マイケルソン |
| 時空-c – E=mc² – t |
| EQR |
| 例:マイケルソンとモーリー |
| exp:考えた?-エーテル |
| 双子を訓練する |
| 特殊一般相対性理論 |
| 相対性理論 |
| 歴史論争 |
| テクニック |
| サイクロトロン |
| 粒子加速器 |
| メタ |
| 記事 |
| 物理リンク |
| 形状 |
ローレンツ変換
2 つの基準枠があるとします
- $$ {x’ = \gamma (x – vt) \qquad y’ = y \qquad z’ = z \qquad t’ = \gamma (t – \frac{vx}{c^2})} $$と$$ {\gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2}}} $$そして$$ {\beta = \frac{v}{c}} $$
逆変換
したがって、行列を書くと次のようになります。
そしてその逆も同様です:
x’ と t’ を、x と t に関する上記の式に置き換えると、x = x および t = t が得られます。これは、上記の式が互いに逆であることを意味します。数学者はこれを、この性質はローレンツ変換が群を形成するために必要な性質の 1 つであり、その主な結果は 2 つのローレンツ変換の合成がローレンツ変換であると表現して表現します。速度の構成に関連する段落で、ローレンツ群の使用を見ていきます。
ほとんどすべてがローレンツ変換から推定されるため、特殊相対性理論では、「愚かな」推論を実行するよりも計算結果を信頼する方が良いと言えます。上記の変換は、通常の速度に対するGalileoの変換と同じですが、基準系に依存するため、世界時の概念が破壊されることに注意してください。つまり、位置が変化すると時間も変化します。時間は物理法則を表す座標であり、これらは 4 次元空間 ( ct , x , y , z ) で表すと共変になります。注: ここで t を ct に置き換えることは、時間単位を秒ではなくメートルになるように変換しているだけです。
以下に、結果を推定できる計算のページを作成します。
擬似標準
私たちは、時空間の 4 次元座標系におけるベクトルの座標によってイベントを識別します。
次のことが簡単にわかります。
- $$ {\mathbf{r^2}=c^2t^2 – \vec r^2=c^2t^2 – (x^2+y^2+z^2)=c^2t’^2 – (x’^2+y’^2+z’^2)=c^2t’^2 – \vec{r’}^2=\mathbf{r’^2}} $$
確かに ：
- $$ {\left(\gamma(ct’+\beta x’)\right)^2 – (\left(\gamma(x’+\beta ct’)\right)^2+y’^2+z’^2)=(\left(\gamma^2(1-\beta^2)\right) c^2t’^2 – ((\left(\gamma^2(1-\beta^2)\right)x’^2+y’^2+z’^2)=c^2t’^2 – (x’^2+y’^2+z’^2)} $$
4次元ベクトルまたはクアドリベクタの擬似ノルムを太字で示します。
これは、4 次元時空で特定されるイベントの 4 ベクトル位置の擬似ノルムと呼ばれます。我々は、この量が基準系に依存せず、したがってローレンツ変換に対する不変量を構成することを数学的に示しました。
期間の拡大
すでに、時間 t’ は無限の時間に対応することに注意する必要があります。
単純化するために、t’=0 とします。
同じ時間 t’=0 は、将来の正の x の時間 t に対応します。
2 つの参照フレームがあるとします。
で止まっている時計
フレーム変換の変化に従って、 x 1 = γ( v t ‘ 1 + x ‘ o )およびx 2 = γ( v t ‘ 2 + x ‘ o )になることに注意してください。リポジトリ内の 2 つのイベント間の期間
τ 0 = t ‘ 1 − t ‘ 2を静止時の持続時間、 τ = t 1 − t 2 を基準系で観測される持続時間を設定することにより、
- $$ {\tau=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}} $$
したがって、リファレンスから見ると、
量τ 0は固有時間と呼ばれます。として
郵便屋さん
そして今日、GPS システムの衛星に搭載された原子時計は、その表示が地球上に残っている時計と互換性があるように校正されています。
衛星は地球の基準座標系に対して平行移動しません。
長さの収縮
私たちは、前の段落で述べた状況に身を置いています。長さM 1 M 2を測定することは、座標系で 2 つの端 M 1と M 2 の位置を特定することに相当します。時間が経っても動かなければ問題はありません。一方、それらが同じ速度 v で移動する場合、これら 2 つの端を同時に見つける必要があります。したがって、静止状態のルールを考慮します。
ここで、次のように得られるイベント( t ‘ 1 , x ‘ 1,0,0 )と( t ‘ 2 , x ‘ 2,0,0 )を考えてみましょう。
- $$ {\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} x_1=\gamma(x’_1+vt’_1)\\ t_1=\gamma(t’_1+\frac{v}{c^2}x’_1) \end{matrix}\right. &\left\{\begin{matrix} x_2=\gamma(x’_2+vt’_2)\\ t_2=\gamma(t’_2+\frac{v}{c^2}x’_2) \end{matrix}\right.\end{matrix}} $$
これらのイベントが同時に発生するようにt ‘ 2 − t ‘ 1を決定しましょう。
- $$ {t_2-t_1=\gamma(t’_2-t’_1+\frac{v}{c^2}(x’_2-x’_1))=0} $$どちらか ：
- $$ {t’_2-t’_1=-\frac{v}{c^2}(x’_2-x’_1)} $$
- $$ {x_2-x_1=\gamma(x’_2-x’_1)+\gamma v(t’_2-t’_1)=\frac{1}{\gamma}(x’_2-x’_1)} $$
リポジトリ内で観察されるルールの長さ
- $$ {L=L_{0}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $$
したがって、リポジトリ内のルールは短くなります
したがって、100 メートルのランナー R’ は、R の L 0 = 100 メートルのトラック上で T’ 0 =10 秒の適切なタイムを時計で自己計測することになります。ランナーにとって、自分のストライドの速度 v で通過するトラックは、は 100 m ではなく、縮約されます。 L’=L 0 /γ。一方、トラックジャッジにとってトラックは彼に対して動かない。適切な長さは L 0 = 100m、時間は T=γT’ 0、つまり拡張されます。ランナーと審判は時間や距離については同意しませんが、速度 v = L’/T’ 0 = L 0 /T については同意します。もちろん、100 メートル走者のスピードでは、これらの違いはすべて知覚できません。相対論的効果は、核または銀河のスケールでのみ認識されます。
速度の構成
私たちは日常生活の中で、速度が加算されることを知っています。具体的な例を考えてみましょう。地下鉄に乗り、トレッドミルを時速 5 km で同じ方向に時速 4 km で歩きます。私の対地速度は時速9キロです。ガリレオ式、そして相対論的な速度の合成式を取得する方法を見ていきます。この段落では、すべての動きが同じ軸に平行に行われると仮定します。
ガリラヤ事件
ガリレオの変換は次のとおりです。
- $$ {\left\{ \begin{matrix} x=x’+vt’\\ t=t’ \end{matrix} \right.} $$
微分すると次が得られます。
- $$ {\begin{matrix} dx=dx’+vdt’=(\frac{dx’}{dt’}+v)dt’\\ dt=dt’ \end{matrix}} $$
商は次のようになります: u = u ‘ + v 、
相対論的な場合
ローレンツ変換は次のとおりです。
- $$ {\left\{ \begin{matrix} x=\gamma(x’+vt’)\\ t=\gamma(t’+\frac{v}{c^2}x’) \end{matrix} \right.} $$
微分すると次が得られます。
- $$ {\begin{matrix} dx=\gamma(dx’+vdt’)=\gamma(\frac{dx’}{dt’}+v)dt’\\ dt=\gamma(dt’+\frac{v}{c^2}dx’)=\gamma(1+\frac{v}{c^2}\frac{dx’}{dt’})dt’ \end{matrix}} $$
商は次のようになります。
- $$ {\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx’}{dt’}+v}{1+\frac{v}{c^2}\frac{dx’}{dt’}}} $$どちらか ：$$ {u=\frac{u’+v}{1+\frac{u’v}{c^2}}} $$速度の相対論的合成法則:それらは加算されない
u’ = cの場合、 u = cが得られることに注意してください。光の速度は両方の座標系で同じです。
ローレンツ群の使用
L(v) を行列とします
- $$ {\begin{bmatrix} \gamma & \gamma\beta& 0 & 0\\ \gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}} $$
と
- $$ {\mathbf{X} = L(v)\mathbf{X’}} $$
参考になるものがあれば
- $$ {\mathbf{X’} = L(u’)\mathbf{X”}} $$
したがって、次のようになります。
- $$ {\mathbf{X} = L(v)\mathbf{X’} = L(v)L(u’)\mathbf{X”}} $$
積行列L ( v ) L ( u ‘) は行列L ( u )に他なりません。ここでu はフレームの速度です
速度 u と v が同一直線上にない、より一般的なケースについては、以下の段落を参照してください。
スピードクワッドドライバー
速度の変換
時間と距離の比率を計算することで速度を計算できます。
- $$ {\frac{V_x}{c}= \frac{x}{ct} = \frac{\frac{x’}{ct’} + \beta}{1 +\beta\frac{x’}{ct’}} \qquad \frac{V_y}{c}= \frac{y}{ct} = \frac{\frac{y’}{ct’}}{\gamma (1 +\beta\frac{x’}{ct’})} \qquad \frac{V_z}{c}= \frac{z}{ct} = \frac{\frac{z’}{ct’}}{\gamma (1 +\beta\frac{x’}{ct’})} \qquad} $$
- $$ {\frac{V_x}{c}= \frac{\frac{V_x’}{c} + \beta}{1 + \beta{\frac{V_x’}{c}} } \qquad \frac{V_y}{c}= \frac{\frac{V’_y}{c} }{\gamma (1 + \beta{\frac{V_x’}{c}})} \qquad \frac{V_z}{c}= \frac{\frac{V’_z}{c} }{\gamma (1 + \beta{\frac{V_x’}{c}})} \qquad} $$
これらは速度に関する変換であり、速度が加算されていないことがわかります。一方、これらの関係を「加算」という言葉を使用して呼ぶべきではありません。
これらの関係は、次のように計算すると別の方法で記述することができます。
- $$ {1-\frac{V^2}{c^2}=1-\frac{V_x^2+V_y^2+V_z^2}{c^2}=1- \left(\frac{\frac{V_x’}{c} +\beta}{1 + \beta{\frac{V_x’}{c}} }\right)^2- (1-\frac{v^2}{c^2})\left(\left(\frac{\frac{V_y’}{c} }{1 + \beta{\frac{V_x’}{c}} }\right)^2 +\left(\frac{\frac{V_z’}{c} }{1 + \beta{\frac{V_x’}{c}} }\right)^2\right)} $$
どちらか：
ポーズをとることで
書かれています
同じく ：
これは、速度に関するローレンツ変換を行列で記述する方法です。または ：
これはダイナミクスに多大な影響を与えるでしょう。
不変条件の使用: 擬似標準と固有時間
考慮する：：
- c d τ = d s
特殊相対性理論では、次元が長さ (これを適正長と呼ぶ) である不変量があります。適正時間を次のように定義します。
- $$ {\frac{d}{d\tau}=\gamma(V)\frac{d}{dt}} $$
d τ は、基準フレームに対して速度 V で移動する基準フレームで測定された時間の増加です。
次に、自然に quadrivelocity を定義します。
- $$ {u^\alpha=({\gamma(V)}c,\gamma(V)\vec{V})} $$
擬似ノルムが 1 に等しい
他人の未来への旅
あるいは双子のパラドックス:
- この矛盾を思い出してみましょう。
二人の双子 A と B を考えます。A は長い旅をしてから B に戻ります。そのとき、A は B よりも年をとっていないと考えられます。A の観点から、旅をするのは B であると考えると、パラドックスが生じます。彼より年齢が低いはずの人。したがって、一方の時間と他方の時間の遅れを見つける理由はありません。
- このパラドックスを解決するには、非対称性がどこにあるのかを特定する必要があります。
B は慣性基準系内に位置します
- したがって、非対称性は、B ではなく A が慣性基準系を変更するという事実から生じます。以下では、A と B の寿命の進化をドップラー効果によって説明します。A と B が距離を離れると、次のことがわかります。相互に送信される信号のドップラー効果は同じです (信号の周波数は同じ比率で減少します)。 A と B が互いに近づくと、同じことが起こります (信号の周波数は同じ比率で増加します)。しかし、ドップラー効果の逆転は A にのみ依存し、B は何の役割も果たしません。これにより、A または B の視点から見ると、B の方が A よりも老化していることが説明されます。
R’ を 3/5 度で移動する旅行者 A の基準フレームとみなします。これにより、時間の遅れは次のようになります。
- $$ {\gamma = \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac {1}{\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}}=5/4} $$
- T 0 がR’ での旅の期間であるとすると、R では往路は T 1 = γT 0 = 5/4 年続き、vγT 0 = 3/5×5/4 T 0光年 = 3/ 4 T で移動します。 0アル
(al は光年、または光が 1 年間に移動する距離を意味します)
- 単純化するために、T 0 = 1 年の旅行を考えてみましょう。旅行を現代化するために、O と O’ は連続ブロードキャストでビデオの下にあります。
- ドップラー効果により、放射は係数 (1+v/c) = 8/5 でスローモーションで受信され、時間拡張 5/4 と組み合わせると次のようになります。
- $$ {T_r = \frac {(1+v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \times T_0= \sqrt{\frac {1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}} \times T_0=\frac {8}{5}\times \frac{5}{4}\times T_0= 2\times T_0} $$
したがって、各人は、O の B と O’ の A で対称的であり、どちらも動作を変更しない限り、相手の人生を「生きている」状態で見るために 2 倍の時間を必要とします。
- A が 1 年後に戻らずに停止したとします。
- B の視点：A の 2 年間の往路をスローモーションで受け取った後、B は A の人生を 1 年の 3/4 遅れて通常のペースで受け取ります。 B がスローモーションで見た A の旅の最後の瞬間は、1 年の 3/4 に放送されました。したがって、B は、A の旅が (B の基準枠内で) 2 年から 3/4 年を引いた 5/4 続いたことを知っています。これは実際、B の基準枠内での A の旅の期間 T 1です。
- ここで、O’ にいる A が、適切な時期に 1 年後に向きを変えるとします。
- A の視点: 彼は、O に位置する B の人生の 6 か月しか見ていないため、O と O’ を分ける 3/4 al にあるもの、つまり B の 3/4 年をまだ受け取らなければなりません。 O’ に位置する A が閲覧しない O での経験に、A の帰国中の B の寿命を加算する必要があります。つまり、T 1 = B の寿命の 5/4 年を A は 1 年で加速して受け取ることになります。 B から O までの帰路の 2 年間の寿命は、帰路によって A と O の距離が近づくため、受容が加速することと一致しています。
- $$ {T_r = \frac {(1-v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \times T_0= \sqrt{\frac {1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}} \times T_0=\frac {2}{5}\times \frac{5}{4}\times T_0= 1/2\times T_0} $$
- したがって、A は 2 年間旅行し、6 か月 + 2 年 = 2 年半 = 2T 1住んでいた O の B と一緒にいることに気づきました。
- これが時間遅延効果です。
- O で B に向かって伝播する波を含む空間で A が向きを変えたことに注意してください。
- B の視点：O では、A から O’ までの 2 年間の往路を受け取り、A が引き返したとき、彼はまだそれを知りません。 O’ の A が方向転換したという情報を受け取ったとき、A が戻ってからすでに 1 年の 3/4 が経過しており、A は 6 か月後に O に戻ります。O の B は、A の生涯の 1 年からこの帰還を受け取ります。この6ヶ月で加速しました。 BさんはAさんから「2年」の旅行代金を受け取るまでに2年6か月かかります。
毎月 1 日に、A と B はお互いにその月のランクを送信します。以下の表では、左の列に A が経験したランクと A が B に送信したランクが表示され、右の列には A が B から受信したメッセージが表示されます。往路では B のライフが半分の速度で表示されます。帰路中、B のライフは 2 倍の速さで表示されます。
スローモーション（半分の速さ） | |
| … | … |
彼はBに近づき、Bの人生を眺めます 加速（2倍の速さ） | |
| … | … |
B についても同じように進めることができます。A は B の 15 か月後に振り向くが、B が彼に会えるのは信号が届く 9 か月後、つまり 24 か月後であることに注意します。
スローモーション（半分の速さ） | |
| … | … |
彼はBに近づき、Bは彼の人生を見つめる 加速（2倍の速さ） | |
時間は相対的なものです。座標と同様に、基準フレームに依存します。 A の移動期間 (2T 0 に等しい)に、B の係数が乗算されます。
- $$ {\frac {(1-v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+ \frac {(1+v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \sqrt{\frac {1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}+\sqrt{\frac {1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}= \frac {2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}} $$
相対論的効果を正しく認識するには、古典的形式主義が何を与えるかを見なければなりません。 A と B は互いに電磁メッセージを送信する代わりに、一定の間隔で音声メッセージを送信すると仮定するだけで十分です。これらの音波が移動する媒体が B の基準座標系と一致すると仮定します。ドップラー効果の要素は残りますが、古典的な意味でのことです。
- B から A に送信されたメッセージに関して、A は、出力時に係数(1 − v / c )を使用したスローモーションで認識し、戻り時には係数(1 + v / c )を使用した加速モードで認識します。特に相対論的な時間遅延係数$$ {\frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}} $$。 A のパスの長さは 3cT 0 /5、または 3/5 al です (比較が容易でなくなる可能性がある場合でも、同じ単位を保持します)。
- A から B に送られたメッセージについて、B は A から郵便配達員と一緒にスローモーションでメッセージを認識します。 $$ {{1 \over (1-v/c)}} $$、そして A の帰還時に係数で加速されます。$$ {{1 \over (1+v/c)}} $$。
- A の視点: 1 年間の往路中、A は B の人生の 1 ～ 3/5、または 2/5 のスローモーションで B の人生を受け取ります。帰りには、A は加速された人生を受け取ります。 B の人生の 1 + 3/5、つまり 8/5 の人生を、A は 2 年間の旅行中に、B によって 2/5 + 8/5 = 2 年間の B の人生を見ました。
- B の視点: B は、係数 1/(1 + 3/5)) = 5/8 で、A から 1 年分の旅行をスローモーションで受け取ります。この時、Aさんは振り向いたが、Bさんはまだ気づいていない。 A が発した信号が彼に届いたとき、つまり 1 年の 3/5 以内に彼はそれを知ることになります。したがって、B は、A が振り向くのを見るまでに、A の全行程を見るのに 1 + 3/5 = 8/5 年かかることになります。この 8/5 年は、5/8 倍のスローモーションで見た A の人生の 1 年に相当します。 B が A が振り向くのを見たとき、A はすでに 1 年の 3/5 をかけて帰ってきていました。つまり、彼が旅行できる期間は1年の5分の2しか残っていないということだ。 B は、帰路全体を係数 1/(1 – 3/5)) = 5/2 で加速して観察します。したがって、この帰還の視聴も 1 年の 2/5 続き、B は A の旅の 8/5 + 2/5 = 2 年間を視聴したことになります。
Aの往復旅行はそれぞれ1年続き、Aは2年間生きました。そして、B は A の 2 年間の旅を見るために 2 年間生きました。クラシックです。 A と B の時間は同じです: 世界共通です。
力と加速度
加速クワッドドライバー
位置 4 ベクトルを適切な時間に関して微分することによって速度 4 ベクトルを定義したのと同じように、速度 4 ベクトルを適切な時間に関して微分することによって加速度 4 ベクトルを定義できます。
- $$ {a^\alpha=\frac{du^\alpha}{d\tau}=({\gamma}\frac{d}{dt}({\gamma}c),{\gamma}\frac{d}{dt}({\gamma}\vec{V}))=({\gamma}c\frac{d\gamma}{dt},{\gamma}\frac{d\gamma}{dt}\vec{V}+\gamma^2\frac{d\vec{V}}{dt})} $$
と
加速度の変換
参照系内の 4 ベクトル加速度に適用されるローレンツ変換
- $$ {a’_x = \left({1 – {v^2 \over c^2}}\right)^{3/2}{a_x \over (1 – vV_x/c^2)^3}} $$
- $$ {a’_y = \left({1 – {v^2 \over c^2}}\right) {a_y(1 – vV_x/c^2)+a_xvV_y/c^2 \over (1 – vV_x/c^2)^3}} $$
- $$ {a’_z = \left({1 – {v^2 \over c^2}}\right) {a_z(1 – vV_x/c^2)+a_xvV_z/c^2 \over (1 – vV_x/c^2)^3}} $$
均一に加速された動き
慣性系を考えてみる
与えられた時間tにおいて、点 M は、点に対して相対速度 V で移動しています。
各瞬間tで参照フレームを再定義すると、
- $$ {a_x = \left({1 – {V^2 \over c^2}}\right)^{3/2} g = {dV \over dt}} $$
Vが増加して近づくにつれて