不完全基底定理について詳しく解説

声明

E をベクトル空間とすると、

Eを生成するファミリーとと 、自由な家族。

そして、そのような私が存在します

そしてそのようなことまたはEの塩基。

この定理は、 Eの自由族がある場合、それを完了してEの基底を取得できることを意味するため、不完全基底と呼ばれます。

デモンストレーション

Iが有限である場合 (したがってE は有限次元である)

有限の場合の証明は単純なアルゴリズムです。

1. 最初の無料ファミリーから始めます
   $$ {(u_i)_{i \in I’}} $$
2. このファミリーが生成されていない (ベースではない) 場合は、それに要素を追加します。
   $$ {v \in (u_i)_{i \in I}} $$
   v が次の線形結合ではないように、
   $$ {(u_i)_{i \in I’}} $$
3. 塩基が得られるまで2 を繰り返します

安全性の証明:

• 最初に証明する不変式: in 2 , if
  $$ {(u_i)_{i \in I’}} $$
  は確かに自由な非生成ファミリーなので、これに次の要素を追加できます。
  $$ {(u_i)_{i \in I}} $$
  これは次の線形結合ではありません
  $$ {(u_i)_{i \in I’}} $$
  。

確かに、その要素がなかったら、

$$ {(u_i)_{i \in I}} $$

これは次の線形結合ではありません

$$ {(u_i)_{i \in I’}} $$

、これは次のことを意味します

$$ {(u_i)_{i \in I’}} $$

すべてを生み出すことができる

$$ {(u_i)_{i \in I}} $$

この最後のファミリーはEのジェネレーターであるため、したがってすべてE になります。それで

$$ {(u_i)_{i \in I’}} $$

すでにEが生成されます。

• 実証する 2 番目の不変条件: このような要素を
  $$ {(u_i)_{i \in I’}} $$
  、取得した新しいファミリーは引き続き無料です。

実際、新しい要素は以前の要素の線形結合ではありません。

活気の証：

反復ごとに、増加します

$$ {(u_i)_{i \in I’}} $$

の要素の

$$ {(u_i)_{i \in I}} $$

毎回異なります (実際、要素はそれ自体の線形結合であるため、要素を 2 回取得することはできません)。金

$$ {(u_i)_{i \in I}} $$

は有限であるため、アルゴリズムは有限のステップ数の後に停止する必要があります。

このことから、アルゴリズムは有限時間内に停止し、停止すると必然的にEの自由生成族、つまり塩基が示されることがわかります。

一般的な場合

一般的な場合の実証には、ゾーンの補題が含まれるため、間接的に選択公理が含まれます。

実際、私たちは、そこに含まれるすべての自由な家族を考慮しなければなりません。

そしてそれらが包含のための帰納的な全体を形成していることに注意してください。したがって、Zorn の補題は最大族が存在することを保証し、この最大族がまさにEの基礎であることがわかります。

当然のこと

0 に減らされていないベクトル空間には基数が認められます。

この結果を得るには、不完全基底定理を非ゼロ シングルトン (自由族) と E (生成族) に適用するだけで十分です。

当然のこと

E をベクトル K 空間、F を E のベクトル部分空間とします。このとき、F は E に補足を持ちます。つまり、次のような E のベクトル部分空間 G が存在します。

。確かに、F={0} か F=E かは明らかです。それ以外の場合は、F の基底 B を考慮し、それを E の基底 B’ に完成させます。F にない B’ のベクトルによって生成される空間が適切です。

直観に反する結果

軍需品

その自然な構造の -ベクトル空間。選択公理を仮定すると、 追加のGが含まれています 。 Gは、不可算でルベーグ測定不可能な、次の厳密な加法部分群になります。 ;さらに、ゼロ以外の有理数は含まれません。 f が次の対称性である場合、 Gに平行な場合、 f は次の積分です。 どこにも連続せず、測定不能で密なグラフとそれぞれの理性を固定します。このタイプの構築は、選択公理の使用に典型的なものです。同じ精神で、C の非連続体の自己同型の構成を選択公理で読み取ることができます。