不完全基底定理について詳しく解説

導入

線形代数における不完全基底定理は、体K上のベクトル空間Eにおいて、

• ベクターの自由なファミリーは、 Eの自由な生成ファミリー (つまりEの基底) に完成させることができます。
• Eの任意の生成ファミリーから、自由な生成サブファミリーを抽出できます。

特に、この定理は、すべてのベクトル空間E が基底を受け入れることを述べています。確かに、空の家族は自由であり、 Eの基礎で完了できます。この存在結果は、線形代数における次元の定義につながります。定理の記述は次のとおりです。

不完全な基底定理。 E をベクトル空間とすると、

$$ {(u_i)_{i \in I}} $$

E を生成するファミリーと

$$ {(u_i)_{i \in I’}} $$

自由な家族、

$$ {I’\subset I} $$

。そして、そのような私が存在します

$$ {I’\subset I”\subset I} $$

そしてそれ

$$ {(u_i)_{i \in I”}} $$

またはEの塩基。

デモンストレーション

有限の場合の証明は、次のアルゴリズムに基づいています。

1. または、最初の無料サブファミリー
   $$ {(u_i)_{i \in I’}} $$
   。
2. この族が生成していない (基底ではない) 場合、 u _{i が}次の線形結合にならないようなインデックスi が存在します。
   $$ {(u_i)_{i \in I’}} $$
   。必然的に、 i はI’に属しません。
3. I を次のように置き換えます。
   $$ {I’\cup \{i\}} $$
   。家族
   $$ {(u_i)_{i \in I’}} $$
   の無料サブファミリーです
   $$ {(u_i)_{i \in I}} $$
   。 2を繰り返します。

ループは、次の場合に有限のステップ数で終了します。

一般的なケースでは、最初の実証は数学者ゲオルグ・ハーメルによるものであり、必然的に選択公理に基づいています。次の証明では、 Zorn の補題を使用します。これは、それと同等です。これは、最大の自由ファミリ (または最小生成ファミリ) として目的のベースを構築することで構成されます。