E=mc2について詳しく解説

導入

アインシュタイン以前

アインシュタインと

素粒子物理学では

メタ

ベルリンの「E=mc ² 」の彫刻。

方程式E= ^mc2は、特殊相対性理論の枠組みでアルバート アインシュタインによって 1905 年に定式化されました。これは、質量mで静止している孤立粒子は、この質量により、 mと光速の2 乗の積で与えられる質量エネルギーと呼ばれるエネルギーE を持つことを意味します。

この関係は、 c ²係数の巨大さにより、人間スケールの小さな質量 (たとえば 1 グラム) でもかなりの量のエネルギー (約 10 ¹⁴ジュール) を持っていることを示しているため、人々の心に強い影響を与えてきました。 1グラムの質量の場合）。ただし、直接変換には注意しなければなりません。他の法則 (電荷保存則、バリオン数など) は、この式に従って物質を任意にエネルギーに変換することは望めないことを示しています (同量の物質と反物質は変換できます)。

歴史的

アインシュタインが、後に彼の有名な方程式となるものを初めて表現したのは、奇跡の年に発表された最後の論文でした。 「物体が放射線の形でエネルギー L を失うと、その質量は L/c ²だけ減少します。」

この文章の中で、彼はそれまで特定の場合にのみ実証されていたこの等価原理の一般的な事例についての最初の実証を行っています。その後、彼は 1934 年と 1946 年に他の 2 件を提案しました。

方程式 E=mc ²は、相対性理論の著者をめぐる論争の文脈でアインシュタインに異議を唱える人もいます。

一般的な文言

式E = m c ^{2 が}静止している粒子、つまり選択した基準系で速度がゼロの粒子に関する場合、速度vを持つ粒子の別の基準系ではこの式はどうなるでしょうか。

ユークリッド幾何学は3 つの座標によって空間内で特定される点に基づいて推論しますが、特殊相対性理論は 4 つの座標 (時間の 1 つと空間の 3 つ) によって時空内に特定される出来事に基づいて推論します。 2 点間のユークリッド距離が基準を変えても不変であるのと同様に、相対論理論では時空間隔の 2 乗が次のように定義されると規定しています。

$$ {\,c^2\Delta\tau = c^2\Delta t^2 – \Delta s^2\,,} $$

ここで、Δt は 2 つのイベント間の時間間隔を表し、Δs は距離を表し、基準が変化しても不変です。言い換えると、複数のフレームで同じイベントの座標を測定すると (t, x, y, z))、(t’, x’, y’, z’)、(t”, x”, y”, z” ),… 以下の量は値を変更しません:

$$ {\,c^2\Delta\tau = c^2\Delta t^2 – \Delta s^2=c^2\Delta t’^2 – \Delta s’^2=c^2\Delta t”^2 – \Delta s”^2=\cdots\,.} $$

ニュートン力学では、一方では運動する体のエネルギーを、もう一方では運動量を考慮しますが、相対性理論はこれら 2 つの概念を 1 つの対象、つまりエネルギーと運動量の4 ベクトルに統合します。この 4次元ベクトルは、時間成分として粒子のエネルギーE/cを持ち、空間成分として運動量ベクトル (または運動量) を持ちます。

時空間隔の二乗が座標の変化の下で不変であるのと同じように、エネルギー-運動量の 4 ベクトルのノルムの二乗も不変です。言い換えれば、量は次のとおりです。

$$ {\,(E/c)^2 – p^2} $$

評価されるベンチマークから独立しています。しかし、それとは別に、エネルギーと勢いがそれに依存します。

粒子自体のフレーム、つまり静止しているフレームでは、速度、したがって運動量はゼロです。 E をこの特定の基準系のエネルギーに注目すると、前の量の不変性は次のように表されます。

$$ {\,(E/c)^2 – p^2 = (E_0/c)^2 – 0 \equiv (E_0/c)^2\,,} $$

Eの値は有名なmc ²によって与えられるため、次の資本方程式が得られます。

$$ {E^2/c^2 – p^2\, =\, (m c)^2} $$

またはもう一度:

$$ {E^2 – p^2c^2 \,=\, m^2 c^4\,.} $$

この理論は、粒子の速度がvであるフレームでは、エネルギーと運動量が次の式で与えられることを示しています。

$$ {\,E = \gamma mc^2 \equiv mc^2/\sqrt{1 – (v^2/c^2)}} $$

$$ {\,p=\gamma mv \equiv mv/\sqrt{1 – (v^2/c^2)}} $$

古典的な表記法では、

$$ {\,\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – (v^2/c^2)}}\,.} $$

E ² − p ² c ² = m ² c ⁴であることを検証し、これらの式からエネルギーと運動量の間の重要な関係を推定します。

$$ {p=(v/c)(E/c)\,.} $$