導入
ジャン＝ロベール・アルガン（Jean-Robert Argand）は、1768年7月18日にジュネーブで生まれ、1822年8月13日にパリで亡くなったスイスの数学者です。
1806 年、パリで書店を経営していた彼は、複素数の幾何学的な解釈を、数に対応する平面上の点として出版しました。
アルガンドによる複合体
アルガンは、幾何学的構造によって虚数を表現する方法に関する論文「エッセイ」の中で、まず各正の数を直線に関連付けます。
- a: b と c: d の比が等しい (絶対値が同じで符号が同じ) 場合、(a; b) は (c; d) に比例します。
したがって、a と b の積は、(1;a) と (b; ab) が比例する数値 ab になります。 4 番目の比例の幾何学的構成は、古くから知られている構成です。したがって、Argand は次の行を構築する方法を知っています。
- $$ { \overline{KC} = \overline {KA} \times \overline{KB}} $$
x (正) の平方根は、(1; y ) と ( y ; x ) が比例するような数値y (正) です。この構築も可能です (構築可能数を参照)。もし
- $$ { \overline{KM}} $$にあります$$ { \overline{KP}} $$それ$$ {\overline{KP}} $$にあります$$ { \overline{KA}.} $$。
以下を取得します。
- $$ {\frac{KM}{KP} = \frac{KP}{KA}} $$
またはもう一度:
- $$ { \overline{KM} = \overline{KP} \times \overline{KP}} $$
次の問題は、-1 の平方根を計算することです。もし
- $$ {\overline{KB}} $$どちらかに$$ {\overline{KA}} $$それ$$ {\overline{KC}} $$にあります$$ {\overline{KB}} $$。
これは右翼を維持するだけでは達成できません。したがって、アルガンドは右を離れてこう言います。
- $$ {\overline{KB}} $$にあります$$ {\overline{KA}} $$それ$$ {\overline{KC}} $$にあります$$ {\overline{KB}} $$
長さの比率が等しく、角度 AKB と BKC が等しい場合。
これにより、点 B が点 K から垂直方向に1 の距離に配置されます。
次に、すべての「有向線」上に加算(今日私たちが Chasles 関係と呼ぶものに似ています) と積を作成します。
製品:
- $$ {\overline{KM} \times \overline{KN}} $$
ラインです
彼が計画で示した比例性の定義によれば、これは次のことを意味します。
- $$ {\frac{KP}{KN} = \frac{KM}{KA}} $$
- 角度NKPとAKMは等しい。
次に、有向線の積が長さと角度の合計の積に対応することを証明しました。
次に、有向線を各複合体に関連付け、操作間の対応関係を示します。したがって、各有向線には 2 つの可能な表現があります。
- 複素数a + ibを参照する デカルト座標( a; b ) による
- 極座標による: 線の長さと線の方向 (または角度)。
複素数がa + ibの場合、線の長さは次のようになります。
幾何学的な形での複合体の表現を提案することにより、Argand の目的は 2 つあります。
- 当時の人々がまだ空想上の単純な計算術だと考えていた複合体の現実を証明する
- 代数問題の解決を大幅に簡素化できる幾何学的ツールを提供します。