放物線は、平面が円錐の母線の 1 つに平行な場合に、平面と円錐が交差する部分です。これは曲線の一種であり、その多数の幾何学的特性は古代以来数学者の関心を集め、さまざまな技術的応用を受けてきました。
数学
円錐断面
放物線は円錐曲線の一部であり、つまり回転円錐と平面の交差によって得られる曲線です。この場合、放物線は、平面が円錐の母線の 1 つに平行なときに得られます。
監督と家庭と奇行
D を直線、 F をDに属さない点、 P を直線Dと点F を含む平面とする。方向線Dと焦点Fの放物線を、平面 P の点の集合Mと呼び、以下を検証します。
- $$ {\frac{d(M,F)}{d(M,D)} = 1} $$
ここで、 d ( M , F ) は点Mから点Fまでの距離を示し、 d ( M , D ) は点Mから線Dまでの距離を示します。したがって、離心率eが 1 に等しい円錐曲線になります。
方程式
家と監督から
放物線がその焦点Fとその準線によって与えられる場合
- $$ {y = \frac{x^2}{2p}} $$
二次関数から
- y = ax 2 + bx + c
ここで、 a 、 b 、 cは実定数 (a はゼロではない) は放物線です。 a = 1 、 b = 0 、およびc = 0の場合、放物線の単純な式y = x 2が得られます。
放物線の頂点 S が座標点です
- Y = a
彼の自宅がポイントです
一般式より
正規直交系における方程式A x 2 + 2 B x y + C y 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0を考えてみましょう。 B 2 − A C = 0の場合、この方程式は放物線または 2 本の平行線のものになります。
正規直交座標系における方程式A x 2 + C y 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0を考えてみましょう。 AC = 0でAEまたはDCがゼロでない場合、この方程式は放物線になります。
最後に、任意の正規直交系では、放物線の方程式は次の形式になります。
- A x 2 + 2 B x y + C y 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ( B 2 − A C = 0) 。
パラメータ化
ベンチマークでは
- 縦座標によるデカルトパラメータ化: $$ {\overrightarrow{OP}(y)=\frac{y^2}{2p}\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}} $$。
- パラメータ化: $$ {\begin{cases} x=\frac 12 pt^2\\ y=pt \end{cases}} $$、すべてについて$$ {t\in\R} $$
このパラメータ化は規則的です (つまり、派生ベクトルはキャンセルされません)。次に、ベクトル( t ,1)は、パラメーターtを使用して接線を点に向けます。
放物線のいくつかの幾何学的特性
並列ストリング
すべての平行ストリングの中点は準線に垂直な線上にあります。この方向に平行な接線は、この線上に接点を持ちます。このような文字列の端にある放物線の 2 つの接線は、この直線上で交差します。
視能訓練士に関するプロパティ
MとM ‘ を、放物線の焦点を通る任意の直線と放物線との交点とする。 MとM ‘ を通る放物線の 2 つの接線は準線上で交差し、それらの間に直角を形成します。さらに、 HとH ‘ を準線上のMとM ‘のそれぞれの投影と呼び、2 つの接線と準線の交点をO と呼ぶことで、そのOと[ H H ‘]の中点が得られます。
準線に沿って移動するとき、放物線は常に直角に見られます。
アプリケーション
放物線は、波または光線を放物線の焦点である点に集中させるために使用されます。放物線は、太陽光線を一点に集中させるためにも使用されます。たとえば、太陽集光器の炉床を通るパイプに水を通すと、この水は非常に急速に温度が上昇し、さらには蒸発します。気化と言う人は圧力の増加と言うのです。この圧力を利用してオルタネーターを回転させて電気を生成することができます。
物理的な
放物線は、地球の曲率、空気の摩擦(風、物体の減速)、高さによる重力の変化を無視できる場合に打ち上げられる物体によって描かれる軌道です。
また、放物線を描く物体の機械的エネルギーは常にゼロであることにも注意してください。