宇宙航行学の分野における軌道測量は、人工衛星の軌道要素を決定することです。
英語での対応する用語はorbitographyおよびorbit Depthです。
軌道調査における 2 つの有名な問題は次のとおりです。
- ランバート問題: 2 つのイベント (位置と日付) {P1,t1} と {P2,t2} を知ることで動きを決定します。
- ガウス問題: 3 つの位置 P1、P2、P3 を知ることで軌道が決まり、その後の動きが決まります。
(科学の歴史: 1801 年 1 月に収集された断片的なデータに基づいて、1801 年のガウスはケレスを発見したことで知られるようになりました)。
ガウス問題
私たちは今日、1890 年頃にギブスによって発明されたベクターを使用してそれを扱います。
3 つのベクトルOP1 、 OP2 、 OP3 は、軌道の平面を定義します (過剰なため、改善するには最小二乗法を使用します)。したがって、この平面に垂直なベクトルk です。近地点の方向を見つけるには、 i ;直交方向j : = i/\kで三面体が完成します。
- ギブズの定理: ガウス-ギブズ ベクトルGはjの方向を与えます。
G := OP1 (r2-r3) + 循環順列を使用します。
半楕円とその上で、Po は近地点、H はOH // jとなる楕円の点、B は短軸の点、A は遠地点を考えます。検証のために、次の 4 つのベクトルを計算できます。ギブスはこれらのポジションのうち 4 つのうち 3 つに対応します。そうすることで「直感」が身につくのです。
したがって、ギブスの定理により、角度θ 1 :=( OPo , OP1 ) および他の 2 つの定理へのアクセスが可能になります。 3 つの標準方程式 p = r1 + e があるとします。 r1.cos θ 1 。最小二乗法によって p と e を求めることができます。これで軌道の決定が完了します。明らかに、移動の問題を完了するには少なくとも 1 つの日付が必要です。
注: ガウスの直観は、2e = ||G||/area-triangle(P1P2P3) でした。そうです（ギブスの定理 2、練習問題として残しました）。
注: 半楕円上で 3 つの点が連続する場合のみが扱われています。時間のシフトが半周期を超えて到達する場合は、3 つの点の配置に注意を払うことをお勧めします。
- ギブス定理の証明:
離心率ベクトルをベクトルe : = OC /a と呼びます。C は楕円の中心です。したがって、このベクトルはe = -e iになります。
これがケプラー問題の不変量 (SO4) であることを思い出してください。
e := r /r + Lo/\v /mGM ; ( Lo := 角運動量)
特に、上記のように pr = eです。 r 。
Gを計算します。 e : (p-r1)(r2-r3) + perm-cir = 0 になります。
デモンストレーション終了。
- ギブズの定理 2 :
Aとします: = r1/\r2 + permut.cir; e = || G ||/|| || 。
もう一度、少し直感を養うために、前に示した 4 つの特殊なケースを計算してみます。続いてデモンストレーションに移ります。
- ギブズの定理 3 :
最後に、重み付けされた領域の体積ベクトルV : = ( r1/\r2 ) を考えてみましょう。 r3 + permut.cir 。
次に、p = || V ||/|| || 。
まずは4つのケースで確認してみましょう。次に、それをデモンストレーションします。
- 次に、偏心ベクトルを介して 3 点のそれぞれにおける速度ベクトルを計算できます。
ランバート問題
1760 年の注目すべき研究: 2 つの出来事を経験した運動の決定。
プラマー (動的天文学に関する入門論文、1960 年、ドーバー編) は、この問題に対する分析的な解決策を示しています。ポラード (Celestial Mechanics、1966、Prentice-Hall 編) はこれについて言及しています。 Guiziou ( (リンク) ) は、次のような洗練された解決策を提案しています: ガウスの問題に帰着します。
より正確には、P1 と P3 を 2 点とします。点 P2 を次のように定義します。 OP2 := k ( OP1 + OP3 ) (k は不定の瞬間を表します)。したがって、ガウス・ギブズ問題に戻ります。 P1 から P3 までの楕円弧を記述するための継続時間 (t3-t1) を与える k は 1 つだけです。k を与えて問題を解く方程式t3-t1 = f(k) を数値的に解きます。
