導入
関数解析では、開マップ定理とも呼ばれるバナハ・シャウダーの定理は、 2 つの完全な正規化ベクトル空間間の全射連続線形写像が開いていることを主張する基本的な結果です。これは、完全な計量空間(したがって、特にバナッハ空間) では、密な開放空間の可算交差はすべて密であるというベールの定理の重要な結果であり、これにより、 バナッハの定理 – シャウダー空間からフレシェ空間への一般化が可能になります。 。
声明
EとF を2 つのバナハ空間とし、 f をEからFまでの連続線形写像とします。
fが全射法の場合、 fは開いています。つまり、 fによるEの任意の開きのイメージはFの開きです。
結果
バナッハ同型定理
バナッハ-シャウダーの定理には、バナッハ同型定理、ベア-バナッハの定理、またはより単純にバナッハの定理と呼ばれる基本的な帰結があります (実際、これは定理と同等の形式であり、弱い結果ではありません)。
- f が2 つのバナッハ空間間の連続全単射線形写像である場合、 f は同相写像です。
閉グラフ定理
バナハ・シャウダーの定理は、2 つのバナッハ空間間の線形適用の連続性に関する強力な基準の起源でもあり、これは閉グラフ定理です。
- EとF を2 つのバナハ空間とし、 f をEからFへの線形写像とします。 fが連続であるのは、そのグラフが次の閉じた部分である場合に限ります。 $$ {E \times F} $$。
- EとF を2 つのバナハ空間とし、 f をEからFへの線形写像とします。 fが連続であるのは、そのグラフが次の閉じた部分である場合に限ります。
トポロジカル補足
無限次元の場合、追加の部分空間に関連付けられたプロジェクターが連続的であることは何も保証されません。これが次の定義の理由です。
- E をバナッハ空間、 F をEの閉部分空間とする。部分空間G は、それが代数的補足であり、閉じている場合に限り、位相的補足です。
代数補足は、定義上、 EのベクトルをFのベクトルとGのベクトルの和として記述する唯一の方法が存在するような部分空間です。
バナッハ・シャウダーの定理により、次の命題を証明できます。
- トポロジカル サプリメントに関連付けられたプロジェクターは連続的です。
この結果は、たとえばバナッハ空間の直交特性を示すために使用される次の命題の結果です。
- E をバナッハ空間、 F 1とF 2 をそれらの和が閉じるような 2 つの閉じたベクトル部分空間とする。この場合、 Eのすべてのx が、 F 1のx 1要素、 F 2のx 2要素を含む形式x = x 1 + x 2の分解を許容するような、厳密に正の定数C が存在します。
前の命題では、次の結果が認められます。
- 前の命題と同じ表記法を使用すると、 Eの要素xとF 1とF 2の交点の間の距離dが次の式で与えられるような、厳密に正の定数C が存在します。
この結果は、直交性特性を確立するためにも使用されます。
- E をバナッハ空間、 F 1とF 2 をそれらの和が閉じるような 2 つの閉じたベクトル部分空間とする。この場合、 Eのすべてのx が、 F 1のx 1要素、 F 2のx 2要素を含む形式x = x 1 + x 2の分解を許容するような、厳密に正の定数C が存在します。
空間F 1 x F 2に次のノルムが与えられるとします。
空間F 1 x F 2はバナハであり、2 つの要素の合計を結合に関連付けるEにおけるF 1 x F 2の適用は線形全射法です。三角不等式は、マップが連続していることを示しています。 x を命題のベクトルとする。バナハ・シャウダーの定理は、次のような厳密に正の実数cの存在を示しています。
したがって、 cの逆数としてC を選択するだけで十分です。
- トポロジカル サプリメントに関連付けられたプロジェクターは連続的です。
これは前の命題から直接帰結したものです。
- Eの要素xとF 1とF 2の交点の間の距離dが次の式で与えられるような、厳密に正の定数D が存在します。
ε を厳密に正の実数とし、 C を前の命題で確立された厳密に正の定数とする。ベクトルと集合間の距離の定義により、次のようなF 1 (またはF 2 ) のベクトルy 1 (またはy 2 ) が存在します。
前の命題は、次のようなF 1 (またはF 2 ) のベクトルx 1 (またはx 2 ) 要素を示しています。
次の等式は、 x 1 − y 1がF 1とF 2の共通部分の要素であることを示しています。
私たちは次のように推測します。
Dが 1 + Cに等しいように選択された場合、前の限界はすべてのεに対して真となり、命題が証明されます。
