導入
数学、特に代数学では、 Z /n Z は環の特殊なケースであり、 nで割った整数の余りのモジュラー計算に対応します。
すべてのユニタリー環には、 Z /n Zに同型の部分環、またはZに整数の環が含まれます。
このリングは算術演算において特別な役割を果たし、実際にはモジュラー算術の基本ツールです。
記事「整数の合同」では、より教訓的であまり網羅的ではないアプローチで同じテーマを扱っていますが、記事「モジュラー算術」では、この概念の歴史、使用されるツール、およびその応用について扱っています。
Z/nZの構築
Zの理想
Zのユークリッド除算は、この集合がユークリッド環であることを示しており、したがってZ は主環です。これは、 Zのすべての理想的なIに対して、 IがnZに等しいような整数n が存在することを意味します。理想nZと-nZ は同じであるため、常に正のn を選択することが可能です。記事の残りの部分では、 n は正の整数を示します。
商リング
Z / nZの構造は、商リングの一般的な構造に対応します。ここでの同値関係は、整数に関する古典的な合同に対応します。 Z / nZの要素は、 nによるユークリッド除算によってすべて同じ剰余を持つ要素のクラスです。
要素は、そのクラスのメンバー (多くの場合、0 からn – 1 までの整数) によって識別されます。
- Z / nZの要素は、モジュロン n または剰余クラスと呼ばれます。
ユニットのグループ
環の単位のグループは、可逆要素によって形成される乗法グループに対応します。このような要素はユニットと呼ばれます。
- m を整数とします。そのクラスは、 m が nと素数である場合にのみユニットになります。
mがnと素数の場合、それは可逆です。そうでない場合、 d は1 とは異なる公約数、またはk はdk = nとなる整数です。 mkがnの倍数であるという事実は、 mがゼロの約数であることを示しています。は反転不可能です。
- φ がオイラー指標関数を表す場合、単位グループの次数は φ( n ) に等しくなります。
加法群Z / nZの要素は、 nと素数である場合にのみ生成的です。これは、その次数がnに等しいためです。ただし、 Cyclic グループの記事のオイラー指標の段落では、生成要素の数が φ( n ) に等しいことが示されています。
nが素数の場合
nが素数の場合、つまりリングが物体の場合、構造は次のようになります。
- nが素数の場合、体の単位のグループ Z / nZは次数 n – 1 の巡回グループです。
実際、ゼロ以外の要素は可逆であるため、乗法群の次数はn – 1 になります。乗法群は当然有限であり、指数e を許容します。指数は、次のさまざまな要素の次数の最小公倍数です。乗法群。次のZ / nZ [ X ] の多項式を考えてみましょう。これで、フィールド内の係数を持つ多項式は、その根の数以上の次数を持ちます。 e はn – 1 以上であると推定します。要素の次数が群の次数の約数であるという当然の結果を持つラグランジュの定理は、 eがn – 1 に等しいことを示します。
結論として、すべての有限アーベル群には指数順序要素があることに注意するだけで十分です。この特性は詳細な記事で実証されています。乗法群には群の基数である順序の要素があり、したがって原始的であり、これは群が循環的であることを示し、実証を完了します。
注:この性質の推論は、可換体の有限乗法群も巡回であることを示しています。
nが素数でない場合
nが素数でない場合、その構造は当然有限アーベル群の構造となるため、クロネッカーの定理によれば、環状群の積に対応します。構造は前の場合よりも複雑で、それを説明するにはいくつかの命題が必要です。
- nとm を 2 つの互いに素な整数とすると、 Z / n.mZの単位グループはZ / nZとZ / mZの単位グループの直積と同型です。
これは中国の定理の結果です。
算術の基本定理により、 n がp rに等しく、 p が素数、 r が厳密に正の整数である場合に研究が限定されます。次の 2 つの構成があります。
- pが 2 に等しく、 rが 3 以上の場合、ユニットのグループは、-1 のクラスによって生成された次数 2 のグループと、5 のクラスによって生成された巡回グループの直接積です。
- p が 2 以外の場合、ユニットのグループは循環的になります。
すべてのケースが扱われるわけではなく、 pが 2 に等しく、 rが 1 または 2 に等しいケースが残ります。ただし、これらのケースは自明であり、グループには 1 つまたは 2 つの要素が含まれているため、循環的です。
- m を整数とします。そのクラスは、 m がnと素数である場合にのみユニットになります。
mがnと素数でない場合、それらの公約数は 1 とnとは異なります。 b をabがnに等しくなるような整数とすると、 mbのクラスはゼロ クラスとなるため、 mとbのクラスはゼロの約数になります。
逆に、 m がnと素数である場合、ベズー恒等式は、 amのクラスが単位のクラスであるような整数aの存在を示し、その結果、 m は単位になります。
- φ がオイラー指標関数を表す場合、単位グループの次数は φ(n) に等しくなります。
これは前の命題の直接の結果であり、 φ(n) はnより小さい整数の数を正確に指定し、 nで素数となります。
- p が2 に等しく、 rが 3 以上の場合、ユニットのグループは、-1 のクラスによって生成された次数 2 のグループと、5 のクラスによって生成された巡回グループの直接積です。
この命題を実証するために、まずkに対する帰納法によって次の等式を検証しましょう。
k が1 に等しい場合、λ が 3 に等しい場合、等式は真です。結果がkに対して真であると仮定し、 k + 1 に対してそれを示しましょう。
- Z / 2 r Z *から Z /4 Z * への群射 ψ が存在します。
基数 2 rの商の環は、2 番目の基数が最初の基数を割るため、基数 2 r – 2のイデアルを認めます。 Z / 2 r ZのZ / 2 r-2 Zによる商は、環Z /4 Zと同型です。 ψ’ をZ /4 ZにおけるZ / 2 r Zの環射とすると、単位のグループへのその制限 ψ が望ましい射です。
- 単位のグループは、ψ のカーネルとグループ {-1, 1} の直接積と同型です。
アプリケーション ψ は、開始セットとして次数 2 r-1のグループを持ち、到着セットとして次数 2 のグループを持ちます。これは、φ がオイラー指標 を指定する場合、φ(2 r ) = 2 r-1であるためです。これは、ψ のカーネルの次数が 2 r-2に等しいことを示しています。このカーネルには 5 が含まれており、実際には ψ(5) = 5ψ(1) = 1 in ( Z /4 Z ) * です。 5 であるため、5 のすべての累乗は ψ のカーネル内にありますが、この証明で証明された最初の等式は、λ が奇数であるため、5 の次数が 2 r-2であることを確認します。したがって、ψ のカーネルは次数 2 r-2の巡回群です。
要素 -1 は ψ による画像 3 を持ち、したがって核内になく、群 {-1, 1} は核との単一に縮小された交差を持ち、したがってそれらは直和になります (直積を参照)。カーネルの次数とグループ {-1, 1} の次数の積はユニットのグループの次数に等しいため、直接和はユニットのグループに等しくなります。これでデモは完了です。
- pが 2 以外の場合、ユニットのグループは循環的になります。
デモンストレーションは以前のものと似ています。この命題を実証するために、まずkに対する帰納法によって次の等式を検証しましょう。
ニュートンの二項公式は、 kが 1 に等しい場合、次のような整数m が存在することを示しています。
このプロパティが次数kで true であると仮定し、それを次数k + 1 で示します。
- 乗法群には、次数 p – 1 の要素と次数 p r-1の要素が含まれます。
前の等式は、 p + 1 がp r-1の約数であることを示しており、λ はpと素であるため、その次数はp r-2の約数ではないため、その次数は実際にp r-1になります。
次に、群Z /p Z *内の単位群の全射射である ψ を考えてみましょう。その存在は、前のものと同様の推論によって証明されます。 pが素数であるため、到着群は次数p – 1 の巡回群です(n が素数の場合を参照) 。到着群の生成要素の前件を持たせます。次数がp – 1 の倍数の巡回群を生成します。したがって、この巡回群には次数がp – 1 の要素b が少なくとも 1 つ含まれており、 b は次数がp – 1 の巡回群を生成します。
- ユニットのグループは循環的です
