ハイパスフィルターについて詳しく解説

導入

ハイパスフィルターを適用した画像（右の結果）

ハイパスフィルターは、高周波を通過させ、低周波、つまりカットオフ周波数より下の周波数を減衰させるフィルターです。ローカットフィルターとも呼ばれます。ハイパスフィルターはローパスフィルターの逆であり、これら 2 つのフィルターを組み合わせてバンドパスフィルターを形成します。

ハイパスフィルターの概念は、データ(信号) に適用される数学的変換です。ハイパスフィルターの実装は、デジタルまたは電子コンポーネントを使用して実行できます。この変換の機能は、高周波数のみを保持することを目的として、カットオフ周波数f _cより下の周波数を減衰することです。フィルターのカットオフ周波数は、フィルターの 2 つの理想的な動作モード (ブロッキングまたは通過) を分ける周波数です。

理想的なフィルター

理想的なフィルターは、いわゆるカットオフ周波数でゲインを即座に変更 (線形スケールで 1 から 0 または 0 から 1) できる理論上のフィルターです。実際には、フィルターのカットオフ周波数はゲインGmax -3 dB であり、その後このゲインはによって減少します。

$$ {-n\times 20 dB} $$

10 年ごと (次数nのフィルター)。

アプリケーション

このようなフィルターをスピーカーで使用すると、ツイーターに損傷を与える可能性のある低周波をブロックしながら、高周波をツイーターに向けることができます。より低い周波数は、ローパスフィルターを介して媒体に送信されます。

ハイパスフィルターとローパスフィルターは、周波数領域で変換を実行したり、デジタルノイズを除去したり、見かけの鮮明さを高めたりするために、画像処理でも使用されます。

統計学では、データ系列からの信号を処理するためにハイパスフィルターとローパスフィルターが使用されます。

アナログハイパスフィルター

ハイパスフィルターは、電子部品を使用してアナログ的に実装できます。したがって、このタイプのフィルターは連続信号にリアルタイムで適用されます。回路のコンポーネントと構成により、次数、カットオフ周波数、ボード線図などのフィルターのさまざまな特性が設定されます。古典的なアナログフィルターは 1 次または 2 次です。アナログフィルターには、バターワース、チェビシェフ、ベッセル、楕円など、いくつかのファミリーがあります。同じファミリーのフィルタの実装は通常、同じ回路構成を使用して行われ、これらは同じ形式の伝達関数を持ちますが、変化するのはこのパラメータ、つまり電気回路のコンポーネントの値です。

一次ハイパスフィルター

1 次ハイパスフィルターは、カットオフ周波数f _cと通過帯域Kでのゲインによって特徴付けられます。フィルターの伝達関数は、 ω _{n を}ω _c / ωに置き換えて正規化されたハイパスフィルターを非正規化することによって取得され、次の伝達関数が得られます。

$$ {H(j \omega) = \frac{v_o}{v_i} = \frac {Kj \frac{\omega}{\omega_c}}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}} $$

または
ω = 2π f
ω _c = 2π f _c

伝達関数の係数と位相は次のようになります。

$$ {|H(\omega)| = |\frac{v_o}{v_i}|=\frac{K \frac{\omega}{\omega_c}}{\sqrt{1+\big(\frac{\omega}{\omega_c}\big)^2}}} $$

$$ {\phi(\omega) = \arg H(j \omega) =\frac{\pi}{2} – \arg(1+j\frac{\omega}{\omega_c})= \frac{\pi}{2} – \arctan(\frac{\omega}{\omega_c})} $$

このフィルターを実装するにはいくつかの方法があります。ここでは、能動的実現と受動的実現について説明します。 K はフィルターゲインです。

受動回路

ハイパスフィルターの図

このフィルタを物理的に作成する最も簡単な方法は、 RC 回路を使用することです。その名のとおり、この回路は容量Cのコンデンサと抵抗Rで構成されています。これら 2 つの要素は、信号のソースv _iと直列に配置されます。出力信号v _{o は}抵抗器を介して回復されます。回路はローパスフィルターと同じですが、抵抗とコンデンサの位置が逆になります。このフィルターの伝達関数を見つけるには、要素のインピーダンスを使用してラプラス領域で作業する必要があります。この手法を使用すると、回路は単純な分圧器となり、次の結果が得られます。

$$ { H(j \omega) = \frac{v_o}{v_i} = \frac {jRC\omega}{1+jRC\omega}} $$

この式で、 j は複素数、-1 の平方根、 ω は回路脈動または半径周波数 (rad/s で表されます) です。 RC 回路のカットオフ周波数は次のようになります。

$$ { f_c = \frac {1}{2\pi RC}} $$

または

$$ {\omega_c = \frac {1}{RC} } $$

ここで、カットオフ脈動であるω _{c は}、回路自体の脈動ω _oでもあり、回路の時定数τの逆数でもあります。したがって、実際に、一次ローパスフィルターの典型的な伝達関数が得られます。

ボード線図で使用される観測可能な物理量から次のことがわかります。

ハイパスフィルターのボード線図（1次系）

デシベル単位のゲイン:

$$ { G_{dB}(\omega) = 20 \cdot \log |H(j\omega)| = -10 \cdot \log (1+({\frac{\omega_c}{\omega}})^2) } $$

ラジアン単位の位相:

$$ { \phi(\omega) = \arg H(\omega) = – \arg(1+j\frac{\omega_c}{\omega}) } $$

$$ {= \frac{\pi}{2} – \arctan(\frac{\omega}{\omega_c}) } $$

次に、2 つの理想的な状況を区別します。

いつ
$$ {\omega \ll \omega_c} $$
:

$$ {G_{dB} \sim -20 \cdot \log (\frac{\omega_c}{\omega})} $$

そして

$$ {\phi \simeq 90} $$

(信号はフィルタリングされます)

いつ
$$ {\omega \gg \omega_c} $$
:

$$ {G_{dB} \simeq 0} $$

そして

$$ {\phi \simeq 0} $$

（フィルターはパススルーです）

ω = ω _cの場合、 G _{d B} = -3 dB であることがわかります。