導入
ウィグナー行列 D は、群 SU(2) および SO(3) の既約表現の行列です。行列 D の複素共役は、球面および対称剛体回転子のハミルトニアンの固有関数です。このマトリックスは、1927 年にEugene Wignerによって導入されました。
Wigner D マトリックスの定義
j x 、 j y 、 j z をSU(2) および SO(3) のリー代数の生成子とする。量子力学では、これら 3 つの演算子は、角運動量と呼ばれるベクトル演算子の構成要素です。例には、原子内の電子の角運動量、スピン、または剛体回転子の角運動量が含まれます。すべての場合において、3 つの演算子は次の交換関係を満たします。
- $$ { [j_x,j_y] = i j_z,\quad [j_z,j_x] = i j_y,\quad [j_y,j_z] = i j_x, } $$
$$ {\hbar} $$
は統一に等しいと考えられていました。オペレーター- $$ { j^2 = j_x^2 + j_y^2 + j_z^2 } $$
SU(2) (場合によっては SO(3)) のカシミール演算子です。これは、 j 2と交換可能なj z (この演算子の選択は慣例による) で対角化できます。そうは言っても、次のような完全なセットの ket が存在することを示すことができます。
- $$ { j^2 |jm\rangle = j(j+1) |jm\rangle,\quad j_z |jm\rangle = m |jm\rangle, } $$
または
$$ {j=0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots } $$
そして$$ { m=-j, -j+1, \ldots, j} $$
。 SO(3) の場合、量子数jは整数です)。回転演算子は次のように記述できます。
- $$ { \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) = e^{-i\alpha j_z}e^{-i\beta j_y}e^{-i\gamma j_z}, } $$
または
$$ {\alpha, \; \beta, } $$
そして$$ {\gamma\;} $$
オイラー角です (zyz 規則、右向きの基準、右へのねじ込み規則、アクティブな回転によって特徴付けられます)。ウィグナー行列 D は、次の一般要素を持つ次元2 j + 1の正方行列です。
- $$ { D^j_{m’m}(\alpha,\beta,\gamma) \equiv \langle jm’ | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle = e^{-im’\alpha } d^j_{m’m}(\beta)e^{-i m\gamma}. } $$
一般的な要素を含む行列:
- $$ { d^j_{m’m}(\beta)= \langle jm’ |e^{-i\beta j_y} | jm \rangle } $$
はウィグナー d 行列(小さい d 行列と読みます) として知られています。
Wigner D 行列のプロパティ
行列 D の共役複素数は、次の演算子の導入によって簡潔に定式化できる一連の微分特性を満たします。
$$ {(x,\, y,\,z) = (1,\,2,\,3)} $$
、 - $$ { \begin{array}{lcl} \hat{\mathcal{J}}_1 &=& i \left( \cos \alpha \cot \beta \, {\partial \over \partial \alpha} \, + \sin \alpha \, {\partial \over \partial \beta} \, – {\cos \alpha \over \sin \beta} \, {\partial \over \partial \gamma} \, \right) \\ \hat{\mathcal{J}}_2 &=& i \left( \sin \alpha \cot \beta \, {\partial \over \partial \alpha} \, – \cos \alpha \; {\partial \over \partial \beta } \, – {\sin \alpha \over \sin \beta} \, {\partial \over \partial \gamma } \, \right) \\ \hat{\mathcal{J}}_3 &=& – i \; {\partial \over \partial \alpha} , \end{array} } $$
これらは量子力学で意味を持ちます。これらは空間に固定された剛体回転子の角運動量演算子です。
さらに、
- $$ { \begin{array}{lcl} \hat{\mathcal{P}}_1 &=& \, i \left( {\cos \gamma \over \sin \beta} {\partial \over \partial \alpha } – \sin \gamma {\partial \over \partial \beta } – \cot \beta \cos \gamma {\partial \over \partial \gamma} \right) \\ \hat{\mathcal{P}}_2 &=& \, i \left( – {\sin \gamma \over \sin \beta} {\partial \over \partial \alpha} – \cos \gamma {\partial \over \partial \beta} + \cot \beta \sin \gamma {\partial \over \partial \gamma} \right) \\ \hat{\mathcal{P}}_3 &=& – i {\partial\over \partial \gamma}, \\ \end{array} } $$
これは量子力学で意味を持ちます。リンクされた参照系を持つ剛体回転子の角運動量演算子です。
演算子は次の交換関係を満たします。
- $$ { \left[\mathcal{J}_1, \, \mathcal{J}_2\right] = i \mathcal{J}_3, \qquad \hbox{et}\qquad \left[\mathcal{P}_1, \, \mathcal{P}_2\right] = -i \mathcal{P}_3 } $$
および ax のインデックスの循環置換による対応関係。
ザ
$$ {\mathcal{P}_i} $$
異常な切り替え関係(右側にマイナス記号がある) を満たします。2 つのセットは相互に通信します。
- $$ { \left[\mathcal{P}_i, \, \mathcal{J}_j\right] = 0,\quad i,\,j = 1,\,2,\,3, } $$
そして二乗合計演算子は等しい：
- $$ { \mathcal{J}^2 \equiv \mathcal{J}_1^2+ \mathcal{J}_2^2 + \mathcal{J}_3^2 = \mathcal{P}^2 \equiv \mathcal{P}_1^2+ \mathcal{P}_2^2 + \mathcal{P}_3^2 . } $$
それらの明示的な形式は次のとおりです。
- $$ { \mathcal{J}^2= \mathcal{P}^2 = -\frac{1}{\sin^2\beta} \left( \frac{\partial^2}{\partial \alpha^2} +\frac{\partial^2}{\partial \gamma^2} -2\cos\beta\frac{\partial^2}{\partial\alpha\partial \gamma} \right) -\frac{\partial^2}{\partial \beta^2} -\cot\beta\frac{\partial}{\partial \beta}. } $$
オペレーター
$$ {\mathcal{J}_i} $$
行列 D の最初のインデックス (行) に作用します。 - $$ { \mathcal{J}_3 \, D^j_{m’m}(\alpha,\beta,\gamma)^* = m’ \, D^j_{m’m}(\alpha,\beta,\gamma)^* , } $$
そして
- $$ { (\mathcal{J}_1 \pm i \mathcal{J}_2)\, D^j_{m’m}(\alpha,\beta,\gamma)^* = \sqrt{j(j+1)-m'(m’\pm 1)} \, D^j_{m’\pm 1, m}(\alpha,\beta,\gamma)^* . } $$
オペレーター
$$ {\mathcal{P}_i} $$
行列 D の 2 番目のインデックス (列) に作用します。 - $$ { \mathcal{P}_3 \, D^j_{m’m}(\alpha,\beta,\gamma)^* = m \, D^j_{m’m}(\alpha,\beta,\gamma)^* , } $$
また、異常な切り替え関係により、増加/最小化演算子は符号を逆にして定義されます。
- $$ { (\mathcal{P}_1 \mp i \mathcal{P}_2)\, D^j_{m’m}(\alpha,\beta,\gamma)^* = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)} \, D^j_{m’, m\pm1}(\alpha,\beta,\gamma)^* . } $$
ついに、
- $$ { \mathcal{J}^2\, D^j_{m’m}(\alpha,\beta,\gamma)^* = \mathcal{P}^2\, D^j_{m’m}(\alpha,\beta,\gamma)^* = j(j+1) D^j_{m’m}(\alpha,\beta,\gamma)^*. } $$
言い換えれば、ウィグナー行列 D (複素共役) の行と列は、次のように生成される同型リー代数の既約表現をカバーします。
$$ {\{\mathcal{J}_i\}} $$
そして$$ {\{-\mathcal{P}_i\}} $$
。ウィグナー行列 D の重要な特性は、次の転流から生じます。
$$ { \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) } $$
時間反転演算子を使用して$$ {T\,} $$
、 - $$ { \langle jm’ | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle = \langle jm’ | T^{\,\dagger} \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) T| jm \rangle = (-1)^{m’-m} \langle j,-m’ | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| j,-m \rangle^*, } $$
または
- $$ { D^j_{m’m}(\alpha,\beta,\gamma) = (-1)^{m’-m} D^j_{-m’,-m}(\alpha,\beta,\gamma)^*. } $$
ここでは、次の事実を利用しました。
$$ {T\,} $$
反ユニタリ（移動後に複素共役になると） $$ {T^\dagger\,} $$
ケットからブラまで）、 $$ { T | jm \rangle = (-1)^{j-m} | j,-m \rangle} $$
そして( − 1) 2 j − m ‘ − m = ( − 1) m ‘ − mです。