ドラゴンカーブについて詳しく解説

導入

ドラゴンカーブ

ドラゴン曲線(または「ドラゴン フラクタル」、「ヘイウェイ カーブ」、または「ヘイウェイ ドラゴン」) は、NASA の物理学者ジョン ヘイウェイ、ブルース バンクス、ウィリアム ハーターによって最初に研究されました。これは、1967 年に Martin Gardner によって Scientific American の数学ゲーム コラムで説明されました。その特性の多くは、 Chandler Davis とDonald Knuthによって出版されています。彼女はマイケル・クライトンの小説『ジュラシック・パーク』に登場しました。

工事

Lシステム

曲線は次の L 系で構築できます。

• 90°の角度
• FXシード
• ルール：
  • ×
    $$ {\mapsto} $$
    X+YF+
  • Y
    $$ {\mapsto} $$
    -FX-Y

これは単純に次のように翻訳されます: 基本セグメントから開始します。次に、曲線に沿って、右、左に交互に 45 度回転して、各セグメントを直角の 2 つのセグメントに置き換えます。

ここでは、最初の 5 回の反復と 9 回目の反復を視覚化します。

IFS

ドラゴン曲線は、複素平面における次の IFS の極限セットでもあります。

$$ {f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2}} $$

$$ {f_2(z)=1-\frac{(1-i)z}{2}} $$

。

折りたたみ

ドラゴン曲線を繰り返すと、右または左への一連の 90 度の回転が表示されます。最初の反復では、「右」 (R) と「左」 (G) のシーケンスは次のとおりです。

1 回目の反復: D

2 回目の反復: D D G

3 回目の反復: D D G D D G G

4 回目の反復: D D G D D G G D D D G G D G G

経験的に、次の構築ルールを観察できます。現在の反復を取得し、D を追加し、次に反転した現在の反復を追加して D と G を交換することで、次の反復を構築できます。

この図は、折りによるモデリングの次の方法を示しています。紙片を取り、右から中央で折ります。もう一度右から折り、この作業を何度も繰り返します。折り目を90°に保ちながらストリップを広げます。ドラゴンカーブが現れます。

このパターンは、シーケンス内の n 番目の回転の方向を決定する方法も提供します。 「n」をk 2 ^mと書きます。kは奇数です。 n 番目の回転の方向は、kモジュロ4 (k を 4 で割った余り) によって決まります。余りが 1 の場合、n 番目の回転は「右」、そうでない場合は「左」になります。

ドラゴンカーブバリエーション

ツインドラゴン

2匹のドラゴンから作られたツインドラゴン

ツインドラゴン(直訳すると「ツイン ドラゴン」、デイビス・クヌース ドラゴンとしても知られる) は、2 匹のドラゴンを背中合わせに配置することで構築できるドラゴン曲線のバリエーションです。この曲線は、次の IFS の限界です。

$$ {f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2}} $$

$$ {f_2(z)=\frac{(1+i)z+1-i}{2}} $$

。

テルドラゴン

テルドラゴン曲線。

タードラゴンは次の L システムから構築できます。

• 角度120°
• シードF
• ルーラー：
  • F
    $$ {\mapsto} $$
    F+FF

これは、次の IFS の制限でもあります。

f1 ( z ) ₌ λz

$$ {f_2(z)=\frac{i}{\sqrt{3}}z + \lambda} $$

f ₃ ( z ) = λ z + λ ^*

$$ {\mbox{where }\lambda=\frac{1}{2}-\frac{i}{2\sqrt{3}} \mbox{ and }\lambda^*=\frac{1}{2}+\frac{i}{2\sqrt{3}}} $$

。

ドラゴンカーブのプロパティ

寸法

• 不規則な外観にもかかわらず、ドラゴンの曲線はシンプルなプロポーションです。これらの結果は、その構築方法から推測できます。

• その表面積は1/2 です (ベース セグメントの長さが1 であることを考慮します)。この結果は、タイリングのプロパティから推定されます。
• その境界線の長さは無限です。
• 曲線は決して交わらない
• ドラゴン曲線は多くの自己相似性を明らかにします。最も目に見えるのは、45 度回転して縮小した後の同じパターンの繰り返しです。
  $$ {\textstyle{\sqrt{2}}} $$
  。

• そのフラクタル次元は計算できます。反復ごとに、セグメントの数は 2 倍になり、削減係数は 2 倍になります。
  $$ {\textstyle{\sqrt{2}}} $$
  。したがって、フラクタル次元には価値がある
  $$ {\textstyle{\frac {\ln 2} {\ln \sqrt{2}} = 2}} $$
  。したがって、この曲線は平面をカバーします。
• その境界はフラクタルであり、そのフラクタル次元は 1.5238 (Chang & Zhang によって計算) です。

舗装

• ドラゴン カーブは、複数の方法で平面をタイル状に配置できます (ボックスを参照)。