ポアンカレ半平面について詳しく解説

ポアンカレ半平面は複素数の部分集合です。これにより、フランスの数学者アンリ・ポアンカレは、ロシアのニコライ・ロバチェフスキーの研究に光を当てることができました。

ポアンカレの半平面 (1882)

ポアンカレ半平面は、厳密に正の虚数部を持つ複素数によって形成されます。これは、非ユークリッド幾何学、より正確には双曲幾何学の例を提供します。

上半平面を考えます。

$$ {\mathcal{H}_2 \ = \ \left\{ \ z = x + i y \ / \ y \ width=} $$

\0\右\}” >

上半平面にメートル法を装備します。

$$ {ds^2 \ = \ \frac{a^2 \, \left( \, dx^2 \, + \, dy^2 \, \right)}{y^2}} $$

このメトリクスには、一定の負のスカラー曲率があります。

$$ {R \ = \ – \ \frac{1}{a^2}} $$

通常、単位曲率の場合に戻ります。つまり、方程式を単純化するためにa = 1 を選択します。

測地線は、垂直の半線 (ユークリッドの意味で): x = c t e (赤色)、および横軸に垂直な半円 (ユークリッドの意味で): y = 0 (青色) です。

数学者Andrew G. Bennett (カンザス大学) のサイトを参照してください。このサイトには、測地線、双曲円、双曲三角形に関する3 つの Java アプレットが含まれています。

の行列

$$ {GL_2^+(\mathbb R)} $$

ホモグラフィー^{[ 1 ]}によって、この空間に作用します。より正確には、 g を次の要素とします。

$$ {GL_2^+(\mathbb R)} $$

$$ {g \ = \ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad , \quad \mathrm{det} \, g \ = \ ad – bc width=} $$

0″ >

半平面の点zにおけるその作用は次の式で与えられます。

$$ {g(z) \ = \ \frac{az+b}{cz+d}} $$

負の曲率をもつリーマン多様体上の測地線の流れは、現存する最もカオスな連続時間力学系のプロトタイプであり、この特性は 1898 年にアダマール [ HA98 ] によってすでに注目されています。現在、この流れは、不規則性の高い順に [ AA88 ]、[ PA91 ] であることがわかっています。

こちらもお読みください: [ BV86 ]、[ CO92 ]、[ SC92 ]。