導入
数学では、1897 年に発表されたブラリ・フォルティのパラドックスは、ある集合理論や矛盾にあまりにも素朴な型の理論を導く構造を示しています。つまり、理論が矛盾していることを指します (一貫性がない、または矛盾しているとも言います)。 ）。簡単に言うと、順序数のセットの上限を定義できるため、すべての順序数のセットが存在する場合、すべての順序数より厳密に上位の順序数を定義できるため、矛盾があると述べています。
したがって、この議論は順序の概念、つまり本質的に良い順序の概念を使用します。この議論はより技術的ですが、理解しやすく形式化するのが簡単なラッセルのパラドックスからそれほど遠くありません。しかし、 ブラリ・フォルティのパラドックスは、ラッセルのパラドックスの 6 年前に発表された集合論のパラドックスの中で最初のものであり、ゲオルク・カントールは、このパラドックスについて、（カントールとして知られる）最大の枢機卿のパラドックスと同様に、通信の中で報告しました。同じ年です。さらに、Burali-Forti のパラドックスには、メンバーシップの概念ではなく、順序の概念が直接含まれています (たとえ今日、これら 2 つの概念が集合論で定義されている序数について一致しているとしても)。したがって、特定の理論の矛盾は、ブラリとフォルティのパラドックスを直接導き出すことによって確立されました。これは、ジョン・バークレー・ロッサーが1942 年にウィラード・ヴァン・オーマン・クワインの『新しい基礎』の初版の矛盾を実証した方法です。
矛盾についての声明
このパラドックスでは、自然整数の概念を一般化した順序の概念が、適切な順序を表すものとして使用されます。すべての適切な順序には、「同じ」順序構造を持つ 1 つだけの順序数が関連付けられます。整数は有限序数です。自然数の集合は整然としており、その序数は通常 ω で表されます。無限に到達すると、序数の概念は基数の概念とは異なります (個別の無限序数は同じ基数を持つことができます)。
順序数の概念自体に関連する理由により、一連の順序数自体が自然な方法で適切に順序付けされていることがわかっています。すべての順序数の集合が存在することを認める場合、そのような集合が必然的に検証する閉包特性により、この適切な順序に対応する順序数は、その各要素の順序数よりも厳密に優れていることがわかります。したがって、関連付けられた序数はそれ自体よりも厳密に大きくなければならないという矛盾に直面します。
ツェルメロ・フランケル集合論の解
ある意味論理構造（対角推論）を持つラッセルのパラドックスと同様に、ブラリ・フォルティのパラドックスは理解の公理のスキームを制限することによって解決されます。順序数の自然な定義に従う場合、順序数は、前の段落で説明した順序同型性の良好な順序の同型クラスとして定義されます。ただし、理解スキームの制限により、同型クラスは集合ではありません。 1 要素の順序同型クラスは、すべてのシングルトンをすでにグループ化しています (厳密な順序として空のリレーションが指定されています)。再会の公理により、すべての集合の集合が得られるため、理解の図式によるラッセルのパラドックスになります。
ただし、同型クラスごとに代表を均一に構築することは可能です。これらはフォン ノイマン序数です。次に、集合論の言語で「順序数である」という性質を定義できます (フォン ノイマン順序数は、メンバーシップによって適切に順序付けされた推移的な集合です)。したがって、序数のクラスについて話すことができます。もはや矛盾はありません。Burali-Forti のパラドックスは次のように解釈されます。
- 序数のクラスは適切なクラスです。
