時空間隔 – 定義

導入

アインシュタイン以前

アインシュタインと

素粒子物理学では

メタ

特殊相対性理論または一般相対性理論の時空における 2 つの事象間の時空間隔の2 乗は、ユークリッド空間における 2 点間の幾何学的距離の 2 乗に相当します。この量は基準枠が変化しても不変です。

2 つのイベント間の時空間隔の2 乗が正またはゼロの場合 (2乗という用語はここでは形式的にのみ使用されます)、2 つのイベントは原因と結果のリンク、および時空間隔 (次のように定義されます) によって結び付けることができます。平方根を取る) により、これら 2 つのイベントの間の適切な時間を定義することができます。

2 つのイベント間の時空間隔の2 乗が厳密に負である場合、それらは因果的に互いに独立しており、時空間隔は未定義 (またはせいぜい虚数) ですが、平方根をとることによって定義されます。正方形の反対側からこれらのイベント間の適切な距離を取得します。

時空間隔の二乗は、特殊相対性理論におけるミンコフスキー空間の擬似計量の定義として機能し、一般相対性理論の曲面空間における微小擬似計量の定義としても機能します。

特殊相対性理論における表現

3 次元ユークリッド空間では、正規直交座標系に対する座標 ( x, y, z ) および ( x, y , z ) の 2 点 A と B の間の距離Δlの二乗は、次の形式で表されます。

$$ {\,(\Delta l)^2 = (x_\text{B} – x_\text{A})^2 + (y_\text{B}-y_\text{A})^2 + (z_\text{B}-z_\text{A})^2\,,} $$

私たちが一般的に書く内容をより凝縮した方法で

$$ {\Delta l^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 \,.} $$

古典物理学では、この量は基準系の変化によって不変であることは明らかです。しかし、相対論的物理学ではこれは当てはまりません。

特殊相対性理論の時空幾何学では、2 つの事象 A と B の間に、 Δ s ²で示される「時空間隔の二乗」を座標 ( t, x, y, z ) と ( t, x )で書きます。 、 y 、 z ) の 4 次元時空 (1 つは時間、つまりt 、3 つは空間) の形式で

$$ {(\Delta s)^2 = \, c^2(t_\text{B} – t_\text{A})^2 – (x_\text{B}-x_\text{A})^2 – (y_\text{B}-y_\text{A})^2 – (z_\text{B}-z_\text{A})^2} $$

または

$$ {\Delta s^2\, =\, c^2\Delta t^2 – \Delta l^2 \,} $$

係数c ²が、慣性座標系の変更によってその不変性を正当化するために使用される方法に従って、ローレンツ変換または特殊相対性理論の原理によって課される式。

ユークリッド幾何学的距離の二乗には「+」符号のみが含まれるため、常に正でしたが、時空間隔の式には「-」符号が含まれるため、それぞれの条件に応じて、正の数、負の数、またはゼロの数になります。 2 つのイベントの空間的分離Δlと時間的分離項cΔtのサイズ。この記述は形式的なものにすぎず、「時空間隔の二乗」が距離 d’a の二乗の次元を持つことを強調するために作成されているため、二乗Δ s ²が負になる可能性があることは驚くべきことではありません。その結果、「距離」という概念 (ここでは時空間隔という用語を使用します) は、非相対論的幾何学でのような具体的な意味を持たなくなりました。