円錐繊維 – 定義

導入

円錐バンドルは代数多様体です。

これらの曲面は、歴史的には、 X ² + a X Y + b Y ² = P ( T )の形式のデカルト方程式の解として現れます。

理論的には、これらはセヴェリ ブラウアー曲面とみなされます。より正確にはシャトレの表面のようなものです。これらは、標準的な線織面のグレード2 コーティングとして得られます。

また、体kのコホモロジー群番号 2 の記号( a , P )に関連付けられたものとして、同型写像まで見ることもできます。

実際には、これらは非常に単純な曲面であり、その分割グループはよく知られており、最も単純な面では、合理的であるという特権をデル ペッツォの曲面と共有しています。しかし、現代数学の多くの問題、特に非合理的な問題、つまり少なくとも 1 つの代数曲線のこれらの曲面上の非合理性の問題は未解決のままです。

素朴なバージョン

円錐バンドルを正しく記述するには、まず左側の二次形式を縮小する必要があります。したがって、変数を無害に変更した後、 X ² − a Y ² = P ( T )というタイプの単純な式が得られます。

第二に、 面を無限に完成させるために、射影空間に身を置くことが適切です。

これを行うには、同次座標で方程式を書き、最初にバンドルの目に見える部分を表現します。のために

そして X ² − a Y ² = P ( T ) Z ²を確認します。

これだけではバンドルを (きれいでスムーズな方法で) 完成させるには十分ではありません。その後、古典的なカードの変更を使用して、バンドルを無限に貼り付けていきます。

無限から見ると（つまり、変化を通して）

)、同じバンドル (ファイバーt = 0およびt ‘ = 0を除く) は、 X ‘ ² − a Y ‘ ² = P ^* ( T ‘) Z ‘ ²の解のセットとして記述されます。ここで、 P ^* ( T ‘) は当然Pの逆多項式として現れます。カードの変更( x ‘: y ‘: z ‘)で何が起こるかを以下に詳しく説明します。

バンドルF _{a 、 P}

質問を単純化しながら、もう少し進めるために、フィールドkがゼロの特性を持ち、 m がゼロ以外の自然数である場合に限定します。 P ( T )は、次数2 mまたは2 m − 1の体k内の係数を持つ多項式ですが、多重根はありません。スカラーを考慮します

、基本ボディの非正方形要素。

私たちは定義します

P の逆多項式であり、 F _{a 、 P は}次のように定義されるバンドルを表します。

意味 ：

F _{a , P は}2 つの表面UとU ‘を接着することによって得られる表面です。

方程式X 2 ⁻ a Y 2 ^{= P} ( ^T ) Z ²および^​そして同型性x ‘ = x 、 、 y ‘ = y 、およびz ‘ = z t ^mによって計算されます。

次の結果を示します。

基本的な特性:

表面F _{a 、 P は}、きれいで滑らかなk –表面です。によって定義されるアプリケーションp

Uと U ‘では、 P _{1, k}上に円錐繊維構造を持つF _{a , P}が提供されます。

このアプローチの利点

これにより、円錐束の単純なモデルを与えることが可能になります。何よりも、この円錐状の繊維の被覆を標準的な線織面のように表現することができます。コホモロジーの観点から言えば、古典言語はそこに簡単に見つかります。これを確信するために、不合理性の問題を検討してみます。

不合理

これらの代数曲面の一合理性の問題は未解決です。これには、係数が基体にある表面上の代数曲線をトレースすることが含まれます (つまり、多項式のキャンセルのみが許可されます)。

このような曲線の存在は、セヴェリ・ブラウアー曲面に関するある種の予想に対応します。 「Mazur 予想」を参照してください。コホモロジー用語では次のように解釈されます。

K を体とすると、

分離可能なフェンス。ガロア コホモロジー群は体Kの Brauer 群です。

₂ B r ( K ) は2 によって殺される要素で形成されるB r ( K )の部分群であることに注目します。

AとB がK ^*の 2 つの要素である場合、カップは次の結果を生成します。

K ^* / K ^{* 2} = H ¹ ( K ,μ ₂ )におけるAとBのクラスは、円錐方程式を特徴付けます: X ² − A Y ² − B Z ² = 0からK −同型。

画像が次の場合にのみ、円錐X ² − A Y ² − B Z ² = 0がKの超場L内に有理点を持つと推論します。

の制限射によると、それは自明です。

バンドルの一合理性は、 K = k ( T )をとることによってこの言語に変換されます。ここで、 kは数値フィールドです。一般に、シンボルがkの要素を持つ ( a , P ( T )) _{k ( T )}と書かれている場合に限定します。

もし

は非定数の有理分数であることに注意してくださいボディk ( T )のボディk ( U )への注入に関連付けられた制限射は、 T をβ( U )に送信します。

β ^* ( a , P ( T )) _{k ( T )} = ( a , P (β( U )) _{k ( U )}となります。

この言語では、円錐束X ² − a Y ² = P ( T ) Z ²の不合理性は、確かに非定数の有理分数の存在と同等です。

( a , P (β( U )) _{k ( U )}はBr ( k ( U ))の中性元素です。

実際、これは単に 3 つの有理分数X ( u )があるという考えを反映しています。 Y ( u ) ;等式X ( u ) ² − a Y ( u ) ² = P (β( u ))がK ( u )で真となるように、 K上で定義されたβ( u )

最後に、フィールドk は標数 0 であり、正確な Fadeev シーケンス (以下を参照) により、剰余に関してB r ( k ( U ))の要素の無効性を表現することができます。