円錐曲線に関する射影論/パップス平面内 – 定義

導入

幾何学は、誤った図形について正しく推論する技術です。 (著者が見つけます)

アルジェシアン平面では、円錐曲線の概念を定義することはできません。定義できるのは、すべての交互の六芒星がパスカル関数である 2 組の点の概念だけです。ここで、パップス公理を使用する権利を自分自身に与えると、すべてが単純になり、円錐が存在し、点の接線も極も存在します。

予想: ブリアンションの六芒星とパスカルの六芒星

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アルジェシアン射影平面と円錐曲線の欠如。

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まとめ。アルジェシアン射影平面では、円錐は存在しません。パスカルの六芒星の順列は (60 のうち) 6 つしか作成できません。

パスカル自身のアプローチについて私たちが知っていること。

( 円錐曲線に関する射影の論文、§パスカルのアプローチ/ドロップダウン ボックスについてわかっていることを参照)

パプス射影面と円錐射影面。

最初のステップは、パスカル ヘキサグラムの順列がパスカリニティの性質を維持することを示すことです。そうすれば、すべての結果が非常に簡単に得られます (点での接線、線との交点、極性)。パスカルの六芒星による円錐曲線の定義は、非調和比の不変性、二次方程式、線束の射影変換による定義に近いです。

私たちが現在、図のない絶対形式主義の射影幾何学のマニュアルを読むとき、学生は適切な訓練を受けていないため、その内容を理解できないと考えています – Anne Boyé、Pour lascience n°21、2004 年 11 月～2005 年 2 月。

隣接する 2 つのものの置換。

主定理は次のとおりです。パップス射影平面では、ヘキサグラムがパスカリアンであれば、隣接する 2 つの点を置き換えることによって得られるヘキサグラムもパスカリアンです。反対側の図では、円錐が「ジャガイモ」の形で単純に呼び出されています。その点のうち 6 つだけを処理し、点 P3 と P4 を交換して、順序付けられた六角形 P1 P2 P4 P3 P5 P6 P1 を調べます。

言い換えれば、計画がパップス的であり、製品が

もちろん、2 つの近傍の置換に対する特性の不変性が証明されたら、6 点の円順列に対する特性の不変性を考慮して、ヘキサグラムの 60 個の順列を生成し、その特性が次のように推測できます。すべての人にとって真実です。言い換えれば、パップス射影平面では、順序六芒星がパスカリアンであれば、他の 59 個の順序六芒星もパスカルです。

パプス射影平面内の完全なグリッド。

パスカルの六芒星の図では、他の 4 つの点に接続する 2 つの点 (P5 と P6) が区別され、4×4 のグリッドを形成します。これは、特定のルネッサンス絵画のタイル張りの床を思い出させることは間違いありませんが、斜めに見られるものです。 。 :

この図には、P5-1-2-6-4-3-5 という順序付けられた六芒星があります。彼がパスカリアンではないか、パスカリアンであるかの 2 つのうちの 1 つです。もしそうなら、グリッドのさまざまな対角線について何が言えるでしょうか。

仮説: 六芒星はパスカリアンです。したがって、3 つの点 P32、14、Z は整列します。デザルグの双対定理を三角形 1-2-12 および 4-3-34 に適用すると、3 つの対角線 1-4、2-3、13-34 が U と呼ぶ点に収束します。

パプスの公理を六芒星 1-5-12-34-6-4-1 に適用すると、対角線31-42 も U を通過することがわかります。

パプスの公理を六芒星 2-3-5-34-12-6-2 に適用すると、対角線 13-24 も U を通過することがわかります。

パプスの公理を六芒星 1-4-6-24-13-5-1 に適用すると、対角線 21-43 も U を通過することがわかります。この段階では、共通点Uを持つ 6 つの対角線を強調表示しました。

デザルグの定理を三角形 (U からの透視図で見た) 1-13-31 および 4-24-42 に適用すると、3 つの対角線 13-31、14-41、および 24-42 が次の点で収束することがわかります。 v に電話します。

パプスの公理を六芒星 5-13-31-6-41-14-5 に適用すると、対角線 34-43 も v を通過することがわかります。

パプスの定理をさらに適用すると、対角線 23-32 および 34-43 の証明が完了します。したがって、六芒星 1-2-5-4-3-6-1 がパスカリアンである場合、U を通る対角線が 6 本、V を通る対角線が 6 本存在します。

パプス射影平面に接線はありますか?

パプス射影平面における直線/円錐の交差。

パプス射影面の極点。

ユークリッド幾何学の神秘的な六芒星。

1 つのケースはオイラー、またはフォイエルバッハの円に関するもので、オイラーの線が神秘的な六芒星 H1-I2-H3-I1-H2-I3-H1 のパスカルの線であることが証明できる円錐曲線の特定のケースです。

同じ精神で、2 つのトライン (ABC) と H1I2、H2I3、H3I1 の相対的な特性を調べるのは興味深いことです。それらはアルゲス的な観点からのものでしょうか?

私たちは、ルモワーヌ点と、関連するセヴェンヌの 6 フィートを通過する可能性のある円錐曲線について、同じ種類の質問を自問することができます。

より一般的な方法では、6 つの点を考慮できます。点 P のセヴィエンヌの足と、その等角共役Q のセヴィエンヌの足です。たとえば、「三角形の幾何学」、イヴォンヌとルネ・ソルタイ、ヘルマン、1997 年の「等角性」から始まる章を参照してください。

六芒星と円錐の伝統的な定義。

パプス射影平面で、パスカルの六芒星を使用して円錐曲線の概念を定義できる場合、この概念が円錐曲線の伝統的な定義と一致するかどうかを確認する必要があります。

非調和的な関係とリンクします。

パスカルの六芒星から、円錐曲線上の非調和比が保存されていると推測できますか?計画がパップス的なものであれば、答えは「イエス」です。デモンストレーションは、以前に見た完全なグリッドの図で行われます。

したがって、ビームの 2 つの比が等しいことを確立しました。

((P5-P1)、(P5-P2)、(P5-P3)、(P5-P4)) = ((P6-P1)、(P6-P2)、(P6-P3)、(P6-P4) )

5 つの点 P1,2 3 4 5 がわかっているので、6 番目の点を一定の非調和比で移動させることによって円錐曲線を記述することができると推測します。

2 級とリンクします。

まず同次座標でこのリンクを確立し、次に デカルト座標に進みます。ちょっとした数学のトリックは線形代数の説明に値します。同次座標では、非調和ビームの等価性を書きます。円錐は 5 つの固定点によって定義され、6 番目の点は可動です。非調和比は、4 つの行列積 (行行列 * 列行列) または必要に応じてスカラー積で表されます。線行列はビームの直線、実際には始点と終点によって定義される直線を表します。同次座標では、これは「ベクトル積」になります。したがって、2 つの演算を連鎖すると、(ベクトル積) と (列ベクトル) がスカラー的に乗算され、問題の 3 つのベクトルの行列式が列に配置されることになります。非調和比の等式は、8 つの 3×3 行列式の間の方程式で構成されます。

6 つの点 P1、2、3、4、5、6 (したがって弦 d51、d52、d53 など) を含む円錐曲線では、点 5 から見た点 1、2、3、4 の非調和比は次のようになります。によって表現される

$$ { \rho_5 = \frac{ ( \vec{d_{51} }\cdot \vec{P_2 } ) * ( \vec{d_{53} }\cdot \vec{P_4 } ) }{ ( \vec{d_{52} }\cdot \vec{P_3 } ) * ( \vec{d_{54} }\cdot \vec{P_1 } ) } } $$

に変換できます。

$$ { \rho_5 = \frac{ {\rm Det}( P_5 , P_1 , P_2 ) * {\rm Det}( P_5 , P_3 , P_4 ) }{ {\rm Det}( P_5 , P_2 , P_3 ) * {\rm Det}( P_5 , P_4 , P_1 ) } } $$

同様に、その点から見た同じ点 1、2、3、4 の非調和比は次のように表されます。

$$ { \rho_6 = \frac{ {\rm Det}( P_6 , P_1 , P_2 ) * {\rm Det}( P_6 , P_3 , P_4 ) }{ {\rm Det}( P_6 , P_2 , P_3 ) * {\rm Det}( P_6 , P_4 , P_1 ) } } $$

これら 2 つの比が等しいと書くことは、書くことに等しい

Det( P ₅ , P ₁ , P ₂ ) * Det( P ₅ , P ₃ , P ₄ ) * Det( P ₆ , P ₂ , P ₃ ) * Det( P ₆ , P ₄ , P ₁ ) = Det( P6 _, P1 , P2 ) * Det ( P6 _{, P3} , _{P4 )} * _{Det (} P5 _{, P2} , P3 ₎ * Det ( _P5 , _P4 , P1 )

6 点の同次座標を説明すると、2 つの非調和関係の等式は次のようになります。

$$ { \begin{vmatrix} X_5 & X_1 & X_2 \\ Y_5 & Y_1& Y_2 \\ Z_5 & Z_1 & Z_2 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_5 & X_3 & X_4 \\ Y_5 & Y_3& Y_4 \\ Z_5 & Z_3 & Z_4 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_6 & X_2 & X_3 \\ Y_6 & Y_2& Y_3 \\ Z_6 & Z_2 & Z_3 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_6 & X_4 & X_1 \\ Y_6 & Y_4& Y_1 \\ Z_6 & Z_4 & Z_1 \end{vmatrix} – } $$

$$ { \begin{vmatrix} X_6 & X_1 & X_2 \\ Y_6 & Y_1& Y_2 \\ Z_6 & Z_1 & Z_2 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_6 & X_3 & X_4 \\ Y_6 & Y_3& Y_4 \\ Z_6 & Z_3 & Z_4 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_5 & X_2 & X_3 \\ Y_5 & Y_2& Y_3 \\ Z_5 & Z_2 & Z_3 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_5 & X_4 & X_1 \\ Y_5 & Y_4& Y_1 \\ Z_5 & Z_4 & Z_1 \end{vmatrix} = 0 } $$

。最初の 5 つの点が固定され、 6 番目のモバイルが可変座標 X、Y、Z を持つ場合、必要に応じて展開および変換できます。

$$ { \begin{vmatrix} X_5 & X_1 & X_2 \\ Y_5 & Y_1& Y_2 \\ Z_5 & Z_1 & Z_2 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_5 & X_3 & X_4 \\ Y_5 & Y_3& Y_4 \\ Z_5 & Z_3 & Z_4 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_2 & X_3 &X \\ Y_2& Y_3 &Y \\ Z_2 & Z_3 &Z \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_4 & X_1 &X \\ Y_4& Y_1 &Y \\ Z_4 & Z_1 &Z \end{vmatrix} } $$

$$ { – \begin{vmatrix} X_5 & X_2 & X_3 \\ Y_5 & Y_2& Y_3 \\ Z_5 & Z_2 & Z_3 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_5 & X_4 & X_1 \\ Y_5 & Y_4& Y_1 \\ Z_5 & Z_4 & Z_1 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_1 & X_2 &X \\ Y_1& Y_2 &Y \\ Z_1 & Z_2 &Z \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} X_3 & X_4 &X \\ Y_3& Y_4 &Y \\ Z_3 & Z_4 &Z \end{vmatrix} = 0 } $$

単焦点定義とのリンク

円錐曲線の単焦点定義は、焦点およびディレクターによる定義 (円錐曲線を参照) とも呼ばれ、上記の 2 次の分析定義から計算によって推定できます。

ホモグラフィックビームとのリンク

例は次のページにあります。

デモンストレーションは、以前に見た完全なグリッドの図で行われます。六芒星 1254361 がパスカリアンの場合、対角線 12-21、13-31、および 14-41 は、ここでは疑問符で表されている点 V に集まります。 このプロパティは、次のように定義されるビーム間のホモグラフィック対応に対応します。

開始ビームは中心 P5 で、

右P6～P14でカットされています

これらの交点から中心 V を持つホモグラフィック ビームを定義します。

それは今度は右のP5-P14によってカットされます

これらの交差点から、それと射影的な中心 P6 を持つ到着ビームを定義します。

開始ビーム P5 の直線と到着ビーム P6 の射影の交点により円錐が生成されます。

気づいた。この性質を証明するために公理的な厳密さをすべて備えた上で、基本的な射影計画を作成する必要もあります。これにより、ビーム P5 と P6 間の 1 次元変換の以前の定義が実際に 5 つの点 P1 によって完全に定義されたホモグラフィーであることが保証されます。 、２、３、６、５であり、点４は、開始ビームＰ５の直線とビームＰ６の同形投影線との可変交点である。

自己極性へのリンク