ポアンカレ予想は、数学において、3 次元球体の特徴付けに関する予想です。
2003 年に Grigori Perelman によってその解決策が発表されるまで、この問題は未解決のトポロジ問題でした。専門家コミュニティによって、この分野の数学で最も重要であると考えられており、間違いなく最もよく知られている問題の 1 つです。これは、クレイ数学研究所によって 2000 年にリストされた 7 つのミレニアム賞問題の 1 つです。
歴史的
配合
この予想は1904 年にアンリ ポアンカレによって初めて定式化され、次のように述べられています。
- 「エッジのない 3 次元の単純接続されたコンパクト多様体 V を考えてみましょう。その場合、V は 3次元の超球面と同相です。」
ポアンカレ氏は、優れた先見の明をもって次のコメントを付け加えた。「しかし、この質問は行き過ぎだろう」。
正確に言えば、問題は、閉じた、単純に接続された、エッジのない 3次元多様体が球と同相であるかどうかです。より大まかに言うと、特定の「三次元オブジェクト」が球と同じ特性を持っている場合 (特に、そのすべてのループが点に制限される可能性がある)、それは単なる三次元球の「変形」です (通常の球、つまり通常の空間の表面には 2 つの次元しかありません。
球体にも、他の 3 次元空間にも境界がないことに注意してください。
解決までの長い道のり
2000 年、クレイ数学研究所はポアンカレ予想に価格を付け、その解法に100 万ドルの賞金を提供し、この予想は2000 年代で最も人気のある 7 つの問題の 1 つとなりました。
この推測により、不正確な証明の長いリストが作成され、そのうちのいくつかは、低次元トポロジーのより良い理解につながりました。
最近の進捗状況
2002 年の終わり頃、サンクトペテルブルクのステクロフ数学研究所のグリゴリ ペレルマンのarXivに関する出版物は、彼が前述のプログラムを実行して「幾何化予想」 (詳細は下記を参照) の証拠を発見した可能性があることを示唆しました。リチャード・ハミルトン著。 2003 年に彼は第 2 の報告書を出版し、米国で一連の講演を行いました。最初の発言から 1世紀以上経った 2006 年、専門家のコンセンサスは、グリゴリ ペレルマンの 2003 年の最近の研究によってこの問題は解決されたと結論付けました。この評価は、2006 年 8 月 22 日にマドリードで開催された国際数学会議で正式に発表され、そこで他の 3 人の数学者とともにフィールズ賞が彼に授与されました。しかし、ペレルマンはメダルとそれに伴う金額を拒否した。ペレルマンもクレー賞を辞退した。
予想の証明に関わる要素
その解決策は、3 次元多様体の分類の問題に関連しています。3 次元多様体の分類は、一般に、同型写像までのすべての 3 次元多様体のリストを作成することであると考えられています。このような分類は、2 つの 3 次元品種が同型であるかどうかを確認できる認識アルゴリズムと同等です。
ポアンカレ予想は、1970 年代の終わり頃に定式化されたサーストン幾何化予想の特殊なケースと考えることができます。この最後の予想が証明されれば、次元 3 の種類の分類の問題は完了します。幾何化予想の唯一の部分です。まだ証明されていないものは、「双曲線化」予想と「楕円化」予想と呼ばれます。
「楕円化」予想は、有限の基本群を持つ任意の閉じた 3 次元多様体は球面形状を持つ、つまり3 次元球面で覆われると述べています。ポアンカレ予想は、基本群が自明である場合に対応します。
関連する数学の問題
3 次元以外のポアンカレの予想と同様の予想も定式化できます。
- 単位球と等価的に等価な次元nのコンパクト多様体は、単位球と同相です。
前に与えられたポアンカレ予想は、特殊な場合n =3 として表示されます。
トポロジーにおける低次元の難しさは、すべての類似した結果が現在証明されているという事実によって強調されます。
- 次元n =4 では、1982 年にフリードマンによって最も困難です。
- 次元n =5、1961 年のゼーマンによる。
- 次元n =6 で、1962 年に Stallings によって作成されました。
- 1961 年にスメールによってn ≥7 について (彼は実証をすべてのn ≥5 に拡張しました)。
一方、ポアンカレ予想の元の 3 次元バージョンは未解決のままでした。
