有理数は、2 つの相対的な整数の商によって表現できる実数です (
10進展開
すべての実数と同様に、有理数では無制限の小数展開での表現が認められます。有理数の小数展開には、周期的であるという特殊性があります。つまり、継続的に繰り返される数字の有限シーケンスで構成されるサフィックスが存在します。このシーケンスは「無制限の 10 進数発展の期間」と呼ばれます。
実数の無制限の小数展開と有理数のフォーティオリは、「9」で構成される周期シーケンスで終わることを控える場合に独特です。実際、後者の場合、「0」で構成されるピリオドで終わる同等の書き込みが存在し、さらに良いことに、同等の限定 10 進展開が存在します。
従来、アラビア数字で数値を10 進法で書くとき、必要に応じて周期列の上に水平バーを描きます。ピリオドの各桁の上にポイントを置くこともできますが、この表記法はあまり使用されません。
期間を示す場合は有理数を参照する必要があり、このため厳密に次のようになります。
- $$ {1 = 1,\overline{0} = 0,\overline{9} \neq 0,99999…} $$
- $$ {\frac{1}{3} = 0,\overline{3} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=1}^{x} \frac{3}{10^n} \right)} $$
有理数の無制限の小数展開は周期的であり、逆に、 周期的な小数展開を持つ数は常に有理数です。
したがって、数値は
合理的、非合理的
非有理数の実数は無理数であると言われます。
それで、
整数はすべて有理数です。一方、2 の平方根は無理数です (デモを参照)。
実数の集合は有理数の集合の付着です。任意の実数は有理数のシーケンスの極限です。
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0 から 1 までの有理数は、エジプトの分数の合計として書くことができます。
- $$ {\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} $$
- $$ {\frac{47}{72} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{36}} $$
分数の分母が異なる素因数の積である場合、分数は部分分数の和または差に分解できます。
- $$ {\frac{1}{12} = \frac{1}{3} – \frac{1}{4}} $$
部分分数の分母は素数の整数乗という単純なものです。
10進数から分数表記へ
有理数を 2 つの整数の小数として書く方法があります。
- $$ {178,\overline{0} = \frac {1780 – 178}{9} = \frac {9 \times 178}{9} = 178} $$
- $$ {178,\overline{5} = \frac {1785 – 178}{9} = \frac {1607}{9}} $$
- $$ {178,\overline{45} = \frac {17845 – 178}{99} = \frac {17667}{99}} $$
- $$ {178,\overline{4210} = \frac {1784210 – 178}{9999} = \frac {1784032}{9999}} $$
そして、期間がずれると、次のようになります。
- $$ {178,10\overline {45} = \frac {17810,\overline {45}} {100} = \frac {1781045 – 17810}{100 \times 99} = \frac {1763235}{100 \times 99} = \frac {1763235}{9900}} $$
それを証明できます
- $$ {12,\overline{9} = \frac {129-12}{9} = \frac {117}{9} = \frac {13 \times 9}{9} = 13} $$
もっと直観的に言えば、
- $$ {0,\overline{9} = 9 \times 0,\overline{1} = {9} \times \frac{1}{9}\,} $$
