導入
タンジェントは、ラテン語の「タンジェレ」（触れる）に由来します。幾何学では、曲線の点の 1 つにおける接線は、この点の近くで曲線にできるだけ近く「接する」直線です。この時点で、曲線とその接線は角度0 を形成します。
接線の概念により、近似を行うことができます。点付近の曲線の挙動を知る必要がある特定の問題を解決するには、曲線をその接線に同化することができます。これは、接線の概念と微分積分の関係を説明します。
接線を「曲線を横切らずに接する」直線として単純に定義することは、時々行われるように、正しくありません。
- 曲線が少し先の接線の 1 つと再び交差することを妨げるものは何もありません (点Mにおける接線の概念は、点Mの小さな近傍の状況をよく説明するだけです)。
- 例外的に、 Mの接線が点Mで正確に曲線と交差する場合があります。次に、 Mには屈折があると言います。
サーフェスの接線の概念に相当するのは、接平面の概念です。これは、サーフェス上に描かれ、指定された点を通過するすべての曲線を考慮し、得られたすべての接線を考慮することによって定義できます。その後、2 より大きい次元のオブジェクトに一般化できます。
接線の幾何学的定義
まず、曲線の 2 つの点MとN の間の割線を定義します。これは、それらを接続する線です。 Mにおける接線は、点N がMに向かう傾向があるときの割線の限界位置として定義できます。
この定義を完全に厳密にするためには、そのような制限の計算を可能にするトポロジーの概念を導入する必要があります。ただし、とてもカラフルです。
例:円の接線
円はその各点で接線を認めます。 Mにおける接線は、 Mを通り、 Mから来る光線に垂直な線です。
中心O 、半径Rの円の接線は、点Oから距離Rの位置にある線です。これらは円と正確に 1 点で交差する線でもありますが、これは円の特有の特性です。さて、割線は次のようになります。
2 つの曲線の間の角度
2 つの曲線CとC’ が同じ点Mを通過するとします。この時点で両方に接線があると仮定します。
- 接線間の角度は、Mの 2 つの曲線の角度と呼ばれます。
- この角度が直角である特定のケースでは、2 つの曲線はMにおいて直交していると言います。
- この角度が平坦である特定のケースでは、接線は同一であり、2 つの曲線はMで接していると言えます。
接線に対する相対的な位置
接線に対する曲線の位置を決定するには、差の符号、つまり f(x)-y の符号 (y は接線の方程式) を決定するだけで十分です。 f(x) – y > 0 の場合、曲線は接線の上にあり、その逆も同様です。
凸面性
微分可能な数値関数のグラフは、曲線が常にその接線の上にある場合に限り、凸になります。カーブがその接線よりも下にある場合に限り、凹面になります。
実際に遭遇するケースでは、曲線は、変曲点（接線が曲線と交差する点）によって区切られた異なる間隔にわたって交互に凹状または凸状になります。
変曲点と曲線の凹面が回転する方向を探すことで、パラメータ化された円弧に拡張できます。これを知るためのツールは、曲率の符号を計算することです。
たとえば、閉じた凸曲線、つまり常にその接線の片側に位置する曲線の概念を定義します。このような曲線の場合、曲率の符号は変わりません。
注目すべき点に対する微分積分の使用
私たちは計画に身を置き、点aの 1 つの付近にある円弧fの詳細な研究に進みます。次数pの非ゼロの最初の導関数、つまり次数での最初の非共線導関数であると仮定します。
このフレームでは、円弧は(X(t),Y(t))の形式になります。次に、関数XとYの限定的な拡張を実行します。
- $$ {X(t) = \frac1{p!} t^p + o(t^p)\qquad Y(t) = \frac1{q!} t^q + o(t^q)} $$
t が0 または x に向かう傾向があるとき、既知の事実が見つかります。X とY は0 に向かう傾向があり (曲線の連続性)、傾きY/X は0 に向かう傾向があります (接線は最初の基底ベクトルによって与えられます)。しかし、さらに、非常に小さいtに対するXとYの符号があります。の兆候
- p が奇数、 q が偶数の場合: X は符号を変更しますが、 Y は変更しません。接線の上に留まりながら進みます。普通の点です。
- p奇数、 q奇数の場合: XとYの符号が変わり、接線を横切って前に進みます。これが変曲点です。
- 偶数p 、奇数qの場合、 X は符号を変更しませんが、 Y は符号を変更します。方向転換しますが、接線の反対側に進みます。これは、第 1種の尖頭です (上記の三角筋の場合)。
- 偶数p 、偶数qの場合: XとYの符号が変化しない場合、接線の同じ側に留まり、反対方向に戻ります。それは第二の種類の転換点です。