数学におけるパスカルの三角形は、三角形内に二項係数を幾何学的に配置したものです。行iと列j (0 ≤ j ≤ i ) に二項係数が配置されます
| 1 | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | |||||||||
| 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
用途
多項式
パスカルの三角形は二項展開でよく使用されます。例えば
- ( x + 1) 2 = 1 x 2 + 2 x + 1 2
各単項式の係数は、パスカルの三角形の3 行目の係数、つまり 1, 2, 1 であることに注意してください。
- $$ {(X+Y)^n=a_0X^nY^0+a_1X^{n-1}Y+a_2X^{n-2}Y^2+\ldots+a_nY^nX^0} $$、
係数は、パスカルの三角形のn +1 行目にある係数です。
召喚
合計の公式を知る
a = b = 1 と設定すると、次のようになります。
a = 1 および b = -1 とすると、次のようになります。
これら 2 つの等式 (そのうちの 1 つは交互の合計) がわかると、連続する次数 0、2、4、… の項の合計は2 n − 1になるということになります。
列挙
列 x (列を 0 から数えます) と行 y (行を 0 から数えます) の数は、可能な置換の数を示します。
カタルーニャ語の数字
三角形からカタルーニャ数字を計算するにはいくつかの方法があります。最も単純な方法は、奇数次の行を取得し、系列が 1、1、2 で始まることを認識して、3 番目と最初の項を減算することです。
6 – 1 = 5
15 – 1 = 14
28 -1 = 27
…
これらの数値は、さまざまな離散幾何学的問題に関係します。
工事
組み合わせ論
パスカルの公式を書くと、
- 0 < j < iとなるすべての整数iおよびjに対して、 $$ {{i \choose j}={i-1 \choose j-1}+{i-1 \choose j}} $$
行iと列jの係数は、行i -1 と列j -1 の係数、および行i -1 と列jの係数を加算することによって取得されることに注意してください。さらに、私たちはそれを知っています
- $$ {{n \choose 0}={n \choose n}=1} $$。
パスカルの三角形を構築する方法を推測します。
- 各行の列 0 に 1 を配置し、対角線の各エントリに 1 を配置します。
- 上から始めて下に向かって、行の 2 つの隣接する係数を追加して三角形を完成させ、右側の係数の下にある下の行の係数を生成します。
デモンストレーション
この式は漸化式によって簡単に証明されます。
再発仮説:
この仮説はランク 1 では当てはまります。
nについて真であれば、 n+1 についても真であることを示しましょう。
$$ {(a+b)^{n+1}\,} $$ | $$ {=(a+b)(a+b)^n\,} $$ |
$$ {=(a+b)\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i}} $$ | |
$$ {=\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n+1-i}b^{i}+\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n-i} b^{i+1}} $$ | |
$$ {={n \choose 0}a^{n+1}+\sum_{i=1}^n\,{n \choose i}a^{n+1-i}b^{i}+\sum_{i=0}^{n-1}\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i+1}+{n \choose n}b^{n+1}} $$ | |
$$ {={n \choose 0}a^{n+1}+\sum_{i=1}^n\,{n \choose i}a^{n+1-i}b^{i}+\sum_{i=1}^{n}\,{n \choose {i-1}}a^{n+1-i}b^{i}+{n \choose n}b^{n+1}} $$ | |
$$ {={n \choose 0}a^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}\,\left({n \choose i}+{n \choose i-1}\right )a^{n+1-i}b^{i}+{n \choose n}b^{n+1}} $$ | |
$$ {={n \choose 0}a^{n+1}+\sum_{i=1}^n\,{n+1 \choose i}a^{n+1-i}b^{i}+{n \choose n}b^{n+1}} $$ | |
$$ {=\sum_{i=0}^{n+1}\,{n+1 \choose i}a^{n+1-i}b^{i}} $$ |
この式はランクn+1で true となるため、すべてのnに対して true になります。
マトリックス
階乗から簡単に構築できるため、行列の指数を使用してパスカルの三角形を表すことができます。三角形は、その下対角が 1 、2、3、4、…、その他の場所にゼロを含む行列の指数の結果です。
コンピュータサイエンス
パスカルの三角形を構築するためのアルゴリズムを形式言語で書いてみましょう。このアルゴリズムでは、前の行から新しい行が作成されることに注意してください。
変数:
1～50の整数の配列c （2次元配列）
整数i 、 j 、 n
n ← 10 c (リンク)(リンク) ← 1 私は1からnまでやる c [i](リンク) ← 1 c [i][i] ← 1 jの場合、1 からi -1 までを実行します c[ i ][ j ] ← c[ i -1][ j -1] + c [ i -1][ j ]
ディスプレイ配列( c )
一般化
一般化二項公式は、複素数の底の操作や複素指数の使用を可能にするため、パスカルの三角形の重要な一般化です。
パスカルの三角形は、より高い次元に簡単に一般化できます。 3 次元バージョンはパスカルのピラミッドと呼ばれます。
珍品
この三角形で、すべての偶数が白、すべての奇数が黒の場合、シェルピンスキー三角形が表示されます。
歴史
この三角形は、1303 年に朱世傑によって著書『 The Jade Mirror of the Four Unknowns』で説明されました。この本の中で、朱氏は三角形を二項式の係数を決定するための古代の方法 (彼の時代より 200 年以上前) として紹介し、この方法がパスカルの 5 世紀前に中国の数学者に知られていたことを示しています。これは、 11世紀のアル カラジ (953 ～ 1029 年) やオマル ハイヤームなどのペルシアの数学者にも知られていました。