超有限数 – 定義

導入

超有限数は、数学者ゲオルク カントールによって発見され、研究された無限の数です。その結果に基づいて、彼は無限に一種の階層を導入し、集合論を開発しました。自然数は、有限集合のサイズを記述したり、シーケンス内の要素の位置を指定したりするために使用できます。これら 2 つの使用法は、それぞれ基数と序数の概念に対応します。見た目は似ていますが、無限集合に興味がある場合、これら 2 つのカントリアの概念を区別する必要があります。

認識論的側面

カントールの集合論に関する研究は多くの逆説の原因となり、 ¹⁹世紀末から²⁰世紀初頭にかけて数学が経験した基礎の危機の一因となりました。たとえば、クロネッカーは、2つの異なる方法で無限を伴うカントールの実証が数学的に有効であるとは考えず、一方を完成し、もう一方を建設中であるとみなした理由を述べました。

デヴィッド・ヒルベルトの有名なジョークは、多くの数学者の選択を要約しています。「カントールは、数学者たちが追放されることを許さない楽園を創造した。」

超有限数は現時点では数学以外にはほとんど応用できません。

超有限基数

選択公理を備えたツェルメロ・フランケル集合理論では、すべての集合は基数、つまりこの集合の全単射における最小の序数に対応します。 n 個の要素を持つ有限セットの基数は n です。無限集合の基数ω

自然整数が注目される (aleph-zero)、ヘブライ語アルファベットの最初の文字を使用します。 は最小の超有限基数です。それはどんな自然全体よりも大きいです。全単射の場合、2 つのセットは同じ基数を持ちます。したがって、無限の可算集合の濃度も次のようになります。 、これはすべての代数的数の例に当てはまります。より一般的には、次の型の集合が可算無限であることを示します。

• の結合
  $$ {\mathbb{N}} $$
  完成したセットで
• 可算無限集合の有限シーケンスの和集合
• 可算無限集合の有限シーケンスの積

これらの特性は超有限数に変換されます

以下の式により

• $$ {\aleph_0+n=\aleph_0} $$
  任意の自然数nに対して
• $$ {n\aleph_0=\aleph_0} $$
  任意の自然数n > 0に対して
• $$ {\aleph_0^n=\aleph_0} $$
  任意の自然数n > 0に対して

しかし、無限はこれに限定されません

。カントールの対角論法を使用して、集合が実数は数えられません。注意すればに関連付けられた超有限基数したがって、

$$ {\aleph_0 < \aleph} $$

。

時々注目される有限基数との類推により、 のすべての部分と全射です 。したがって、この表記法では次のことがわかります。 。より一般的には、セットの一部のセットのカーディナリティが常に開始セットよりも厳密に大きいことを示します。それで、

$$ {\aleph_0 < 2^{\aleph_0} < 2^{2^{\aleph_0}} < \cdots} $$

したがって、超有限基数は無限に存在します。

そこで次のような疑問が生じます。

、厳密に次より大きい最初の基数に等しいあるいはそれよりも厳密に劣っている場合。クルト・ゲーデルとポール・コーエンの研究は、集合論の公理ではこの疑問に答えることができないことを示しました。参照。連続性仮説。

超有限序数

集合論では、自然数は集合を使って構築できます。

0 = {} (空のセット)

1 = {0} = { {} }

2 = {0,1} = { {}, { {} } }

3 = {0,1,2} = {{}、{ {} }、{ {}、{ {} } }}

4 = {0,1,2,3} = { {}、{ {} }、{ {}、{ {} } }、{{}、{ {} }、{ {}、{ {} } }} }

等

このように、任意の自然数は順序の整った集合であり、集合を含めると自然数よりも順序が整います。これは、ジョン・フォン・ノイマンによる序数の定義につながります。つまり、集合 E が序数であるのは、E が完全に包含されるように順序付けされており、E のすべての要素が E の部分集合である場合に限ります。このアプローチにより、無限の序数を考慮することができます。超有限序数とも呼ばれます。

無限序数の存在は、無限の公理によって保証されます。

最初の超有限序数は、ギリシャ語アルファベットの最後の文字である ω で表されます。自然整数の集合に対応します

。

αとβ が2 つの序数である場合、次の場合に限り、 α < β であると言います。

。その後、任意の 2 つの序数を比較できます。

αが順序数の場合、 αの後継者を順序数と定義します。

、 α + 1で表されます。操作を繰り返すことにより、序数が無限に存在することを示し、序数間の加算を定義します。たとえば、次のようなものがあります。

• $$ {\omega < \omega + 1< \omega + 2 < \cdots < \omega+\omega = \omega 2 < \omega 2 + 1 < \cdots < \omega 3 < \cdots } $$

この加算は結合的ですが、可換的ではありません。したがって、 ω < ω + 1 < ω2ですが、 ω = 1 + ωです。また、乗算と指数関数を定義することもできます。これにより、超有限序数の算術演算が可能になります。

• $$ {\omega 2 < \omega 3 < \cdots < \omega\omega = \omega^2 < \omega^3 < \cdots < \omega^\omega < \cdots < \omega^{\omega^\omega} < \cdots } $$

有限順序数とωのみを使用して有限回の算術演算を実行しても取得できない超有限順序数があります。それらの最小のものはε ₀と呼ばれ、価値があります。

。これは、方程式x = ω ^xのさらなる解です。

序数は、集合論の公理の意味で集合を形成するのではなく、それ自身のクラスを形成します。この性質はBurali-Forti のパラドックスと呼ばれ、その実証は次の議論に基づいています: 序数のセットが存在する場合、それは定義上、すべての序数よりも厳密に (定義により) 大きい順序数になります。矛盾している。