導入
数学では、体K上の有限次元ベクトル空間のトポロジーは、特定の仮説の下では、標準化されたベクトル空間トポロジーの特殊なケースです。プロトタイプは、これらのn実数の絶対値の最大値を実数のnタプルに関連付けるノルムを備えたR nです。
ボディトポロジに関するプロパティ
物体K (たとえば、実数のK = 物体R上) 上の有限次元nのベクトル空間E は、これら 2 つのベクトル空間の間の同型写像 (または何が等価であるか) を任意に選択することによって、常にK nと同一視できます。 、 Eの基底の選択による)。 K nに関する以下のすべての記述は、事実上そのようなEに拡張されます(そのような同型写像によってK nのトポロジーから移送されたトポロジーが与えられる)。
ここで考慮されるフィールドK は主に実数または複素数のフィールドであり、言及されたすべての仮説が検証される物体になります。したがって、最初の読み取り時に、その後に続くすべての K を R または C に置き換えることができます。また、位相ベクトル空間をすべて標準化されたベクトル空間に置き換えることもできますが、これは一般的ではない概念です。
主な結果は次のようになります。 R nとC nでは、すべてのノルムが同等です。これらのノルムのいずれかについて、空間は完全であり (したがって、それが部分空間である正規化ベクトル空間内で閉じられています)、コンパクトな部分は有界で閉じられた部分です。
製品トポロジー
Kが ( RとCと同様に) 別個の位相場である場合、 K nには当然、それを位相ベクトル空間にする (別個の) 積トポロジーが提供されます (つまり、加算とスカラーによる乗算は 2 つの連続したアプリケーションです)。
ここで、 Kが完全である (つまり、局所的にコンパクトである) 場合、 K n も完全であることに注意してください。
製品トポロジの定義により、次のものも含まれます。
命題— K nにおける位相空間Mの写像f は、そのn成分f 1 ,…, f n ( KにおけるMの) が次の場合にのみ連続です。
K n上で定義された (多重) 線形写像は連続的であり、特にスカラー積、すべての双一次または二次形式、行列式、さらにはテンソル積です。
命題—任意のK-位相ベクトル空間Eに対して、
- K nからEまでの線形マップは一様に連続しており、
- の任意のp線形応用$$ {K^{n_1}\times\ldots\times K^{n_p}} $$Eは連続です。
実際、 K n上の線形写像の連続性は、 E が位相ベクトル空間であるという事実からすぐに得られ、一様な連続性は (位相群の連続射に関しては)自動的に行われます。 p線形アプリケーションの連続性については、次の標準的なp線形アプリケーションとの合成によって推定されます。
さらに、 K上のトポロジーが ( RおよびCと同様に)絶対値から得られる場合、 K n上で生成されるこのトポロジーはノルムによって誘導されます。このノルムは無限ノルムと呼ばれ、最大の絶対値をそのベクトルに関連付けます。連絡先の詳細。これにより、 K n が正規化されたベクトル空間になります。
トポロジの独自性、規格の同等性
ここで、 K は( RやCと同様に)完全で非離散的な「値体」 (絶対値が与えられるという意味) であると仮定します。したがって、状況は驚くほど単純になります。K n上で生成されたトポロジは、実際には「唯一の妥当なトポロジ」です。
定理— K が完全な非離散「値フィールド」である場合、有限次元の任意のKベクトル空間Eに対して、 (E,T)が別個の位相ベクトル空間となるような位相T が1 つだけ存在します。
注:分離条件は必須です。実際、この定理から、2 つの演算と互換性のあるE上のトポロジー(分離されたトポロジとその他のトポロジ) はEのベクトル部分空間と全単射であることが簡単に推測できます (分離されたものはヌル部分空間に対応し、粗いものは部分空間Eに対応します)。 。
Kベクトル空間では、いかなるノルムも別個の位相ベクトル空間構造を引き起こします。 2 つの規範は、同じトポロジーを誘導する場合にのみ同等です。したがって、前の定理からすぐに次のことが導き出されます。
必然的に—
有限次元Kベクトル空間Eでは、すべてのノルムは等価です。
したがって、双一様連続同型までは、次元nのKノルム化ベクトル空間が 1 つだけ存在します。
注: 上記の定理と結果は、実際には不要なコンパクト性引数によってK = Rに対して古典的に証明されています。Kは局所的にコンパクトではない可能性があります。一方、身体の完全性は不可欠です。たとえば、ベクトル空間などです。
完全性と閉鎖性
トポロジーのこの「一意性」 (特に、等価性までの標準の一意性) と、前述のK nの完全性を組み合わせて、関数分析において非常に有用な結果を導き出します。
必然的に—
- – K上の有限次元の任意の別個の位相ベクトル空間 (特に正規化ベクトル空間) が完成し、
- – K上の有限次元または無限次元の正規化ベクトル空間 (または別の位相ベクトル空間) の有限次元のベクトル (またはアフィン) 部分空間は、この空間内で閉じられます。
このために、別個の空間の完全な部分が閉じていること (これは計量フレームワークではよく知られていますが、均一フレームワークにも拡張されます)、および (ベクトル部分空間からアフィン部分空間に移動するために) 任意の変換は同相同型であることを使用します。
ここで有限次元のKノルム ベクトル空間が完全であり、この完全性を継承する完全な値を持つ連続線形マップの空間 (ノルム ベクトル空間の記事で実証された特性) から、完全性に関する別の結果を導き出します。
提案–
Kノルム ベクトル空間から有限次元Kベクトル空間への連続線形マップの空間は、演算子ノルムに対して完全です。
局所的なコンパクト性
本体K (「値があり」、離散的ではない) は完全であるだけでなく、局所的にコンパクトであるという仮説 (これもRとCによって検証されました) を追加しましょう。次に、ボレル・ルベーグの定理の自然な一般化が得られます。
ボレル ルベーグの定理 (一般化) —
E が有限次元のKノルムベクトル空間である場合、 Eのコンパクト部分は有界で閉じた部分であり、 E は局所的にコンパクトになります。
このプロパティは、 Eが有限次元の場合にのみ当てはまります。それ以外の場合、閉じた単位球はコンパクトではありません。この結果はリースの定理として知られています。