導入
数学、特に一般的なトポロジーでは、開集合 (開集合) は、開部分または開集合とも呼ばれ、境界上に点を含まない位相空間の部分集合です。オープンはトポロジの基本要素です。これは、数学のほぼすべての分野において横断性があるため、基本的な概念です。
定義
カップル( X , T )のデータによって位相空間を定義します。ここで、 X は集合であり、 T はそのトポロジー、つまりXの部分の集合 (
- $$ {X\in T} $$そして$$ {\emptyset \in T} $$、
- T は有限交差によって安定します。 $$ {U_1\cap U_2\in T} $$出来るだけ早く$$ {U_1\in T} $$そして$$ {U_2\in T} $$、
- T はどの会議でも安定しています。 $$ {\cup_\alpha U_{\alpha} \in T} $$できるだけ早く$$ {U_\alpha~} $$に属する$$ {T~} $$。
定義により、集合U は、 UがTの要素である場合に限り、 ( X , T )の開集合です。したがって、トポロジーは開集合の集合です。
この一般的な定義から、考慮される特定のトポロジー空間(セット/トポロジーのペア) に限定された必然的な定義が続きます。
特に、位相空間の特定のケースが最も一般的に研究されています。
- メートル空間
- ヒルバート空間
- エルミート空間
- 正規化されたベクトル空間
- ユークリッド空間
…
オープンスペースの無限交差点
オープン スペースの無限の交差点は、必ずしもオープン スペースであるとは限りません。
関連する定義
農場
位相空間( X , T )の一部は、 Xの補数が開いている場合に閉じます。
部品の内部
位相空間( X 、 T )の任意の部分Pには、少なくとも 1 つのオープン (おそらく空) が含まれます。これらの開いた部分のうち最大のものはSの内部と呼ばれます。パーツの内部は常に定義されており、 Sに含まれるすべての開放端の結合を考慮して構築できます。
部品の近傍
位相空間Eの部分A (空ではない) の近傍は、 A を含む開いたU を含むEの任意の部分Vと呼ばれます。つまり、次のようなものです。
空ではないパーツの近傍はフィルターを構成します。つまり、有限数の近傍の交差点が近傍であり、近傍を含むパーツが近傍です。
つながり
空間 X の開いた部分と閉じた部分が X と空集合だけである場合、空間 X は接続されていると言われます。言い換えれば、接続された空間では、開いた部分の補部分は、その部分またはその補部分が空でない限り、決して開いたものではありません。
継続的なアプリケーションとオープンパーツ
2 つの位相空間EとF を考えます。関数
直感: 右と平面から開く
線または平面の開集合(開集合とも呼ばれる) は、空の集合、または次の特性を持つ集合です。集合の任意の点を原点として選択しても、その周囲のすべての点は、長ければ全体の中に残ります。あまり逸脱しないように。これは、この点が集合に属さないすべての点からかなり離れていること、またはこの点と集合の補数 (全体に属さない点) との間に常にゼロ以外の距離が存在することを意味します。
例 ：
- 実数の集合において$$ {\R} $$、間隔
定義を説明するために、点0.99 (集合Xに属する) を選択しましょう。 xから+ 0.005以下の距離にあるすべての点は、引き続きセットに属します。実際、これらすべての実数は不等式を証明します$$ {0,985 \le y \le 0,995} $$0 < 0.985および 0.995 < 1であるため、そこにある実数は0 < y < 1であることが確認され、実際に ,1[ に属し、必要に応じて距離を調整します。
反例:
- 実数のセットでは、区間Y = ]0,1] 、つまり、次のような実数yのセットです。 $$ {0 < y \le 1} $$、開いていません。
実際、点 1 (集合Yに属する) を選択すると、たとえ良い意味で、この点から少し離れたとしても、1 より大きく、集合]0,1]に属する点は存在しません。
ライン (それぞれ平面) のオープンスペースの集合は、ラインのトポロジー(それぞれ平面のトポロジー) と呼ばれます。直線の開集合は空集合であり、開区間の有限または無限和集合である集合であることを示すことができます。
