アフィン空間について詳しく解説

歴史的に、アフィン空間の概念は、完全に一貫しているが、平行線の公理によってユークリッドの幾何学とは異なる新しい幾何学の発見による衝撃から生まれました。彼らは、それ自体が距離の概念に基づいていた長さと角度の概念に疑問を投げかけ、これらの概念とそれに関連するすべてのものを排除して、ユークリッド空間を再定義することを推進しました。その結果、空間が代数構造として現れるアフィン幾何学が生まれました。これは、その後解放されたベクトル空間に近いものでした (したがって、線形代数が誕生しました)。

定義

アフィン空間を定義するにはさまざまな方法があります (「アフィン構造」の記事を参照)。ここでは次のように仮定します。

• 体（
  $$ {\mathbb K \,} $$
  、+、x)、「」で示されます。
  $$ {\mathbb K \,} $$
  ” 中立要素の略語。「0」は加法則を表し、「1」は乗法則を表します。

本体の要素は通常「スカラー」と呼ばれ、ギリシャ文字の小文字で表されます。

$$ {\lambda , \mu \,} $$

、…

• ベクトル空間 (
  $$ {V \,} $$
  、
  $$ {\ ^{\dot +}} $$
  、・）この本体には、「
  $$ {V \,} $$
  「省略された中立的な要素」
  $$ {\vec 0 \,} $$
  ” ;

ベクトル空間の要素は「ベクトル」と呼ばれ、矢印が上に付いた小文字のラテン文字で示されます。

$$ {\vec u} $$

、

$$ {\vec v} $$

、…

• そしてセット
  $$ {E \,} $$
  空ではなく、そこからアフィン空間を構築します。

その要素は「ポイント」と呼ばれ、大文字のラテン文字で示されます。

$$ {A , B \,} $$

、…

注: の要素のペア

$$ {E \,} $$

、の要素

$$ {E \times E \,} $$

、伝統に従って「バイポイント」と呼ばれます。同様に、そのようなペアの最初の要素はバイポイントの「原点」と呼ばれ、二点の 2 番目の要素は「エンド」と呼ばれます。

アフィン空間はトリプルとして定義できます。

• (A1) 2 番目の始点が最初の終点と一致するような任意の 2 点ペアについて、次の画像の合計
  $$ {\varphi \,} $$
  画像と等しい、常に
  $$ {\varphi \,} $$
  、最初の点の始点と 2 番目の点の終点によって形成される二点。言い換えると：

$$ {\forall\ ( A , B , C ) \in E^3 ,\ \ \varphi ( A , B ) + \varphi ( B , C ) = \varphi ( A , C ) \,} $$

• (A2)任意の点および任意のベクトルに対して、その原点が考慮されている点であり、その画像が
  $$ {\varphi \,} $$
  は考慮されるベクトルです。言い換えると：

$$ {\forall\ A \in E , \forall\ \vec v \in V , \exists!\ B \in E /\ \ \varphi ( A , B ) = \vec v \,} $$

得点:任意のポイントのペアに対して

次に、プロパティ(A1)が次のように書き込まれます。

$$ {\forall\ ( A , B , C ) \in E^3 ,\ \ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \,} $$

この特性は、しばしば Chasles 関係と呼ばれます。

プロパティ(A2)は、点を固定するときのことを単純に示しています。

$$ {\varphi_P : \ \begin{matrix} E & \longrightarrow & V \\ M & \longmapsto & \overrightarrow{PM} \end{matrix} \,} $$

は全単射です。また、点へのベクトルの追加に対応する演算 (表記法として使用される) を定義することもできます。

$$ {\forall\ ( A , B ) \in E^2 , \forall\ \vec v \in V ,\ \ A + \vec v = B \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \vec v \,} $$

。

アフィン空間の次元は、それに関連付けられたベクトル空間の次元です。

ベクトル空間

基本的な性質

以下の特性は、アフィン空間の定義(つまり、公理 (A1) および (A2)) から直接得られます。させて

• $$ {\overrightarrow{AB} = \vec 0 \Leftrightarrow A = B \,} $$
  ;
• $$ {\overrightarrow{BA} = – \overrightarrow{AB} \,} $$
  ;
• $$ {\overrightarrow{A_1A_n} = \sum_{i = 1}^{n-1} \overrightarrow{A_iA_{i+1}}} $$
  (一般化されたチャスル関係)
• $$ {\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \,} $$
  （平行四辺形の関係）。

アフィン空間の例

• 計画を見てみましょう
  $$ {\mathbb R^2} $$
  点の集合（特定の構造なし）としてだけでなく、
  $$ {\mathbb R} $$
  -ベクトル空間。

三つ子

$$ {( \mathbb R^2 , \mathbb R^2 , \varphi ) \,} $$

または

$$ {\varphi \,} $$

は次のように定義されます。

$$ {\varphi : \begin{matrix} \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 & \longrightarrow & { \mathbb R^2 \ \ \ } \\ ( ( x_1 , y_1 ) , ( x_2 , y_2 ) ) & \longmapsto & ( x_2 – x_1 , y_2 – y_1 ) \end{matrix} \,} $$

は次元 2 のアフィン空間です (これはアフィン平面です)。

• 三つ子
  $$ {( \mathbb R^3 , \mathbb R^3 , \varphi ) \,} $$
  と ：

$$ {\varphi : \begin{matrix} \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 & \longrightarrow & { \mathbb R^3 \ \ \ } \\ ( ( x_1 , y_1 , z_1 ) , ( x_2 , y_2 , z_2 ) ) & \longmapsto & ( x_2 – x_1 , y_2 – y_1 , z_2 – z_1 ) \end{matrix} \,} $$

は 3 次元のアフィン空間です。

• より一般的に言えば、
  $$ {\mathbb K \,} $$
  任意の本体、上の正規のアフィン空間$$ {\mathbb K \,} $$