基本的な確率変数について詳しく解説

導入

実際の確率変数の概念は、ランダム実験の結果が定量化可能になるとすぐに使用されます。これは、各ゲームがゲイン (= ポケット金額 – 賭け金) に関連付けられるゲームを考慮して生まれました。問題は、ゲーム中に強制停止が発生した場合に、賭け金をどのように公平に分配するかということでした。ブレーズ・パスカルはその設立に多大な貢献をしました。

非公式には、実際の確率変数は、偶然の影響を受ける実験に依存する数値変数です。これは、宝くじの結果に依存するプレーヤーの賞金、または 2 つのサイコロのロールの結果に依存する 2 つのサイコロの上面の合計に依存する場合です。偶然にさらされた実験の各結果は、数値(ゲインまたは数値の合計) に関連付けられます。可能性の宇宙と呼ばれるランダム実験の可能な結果のセットと数値のセットとの間のこの関係は、確率変数の正式な定義の起源です。

正式には、実際の確率変数は、宇宙 Ω からRへの確率p でのマップ X です。このアプリケーションは、p から確率を構築できる実数の新しい宇宙 X(Ω) を作成します。この確率は X の確率法則と呼ばれます。私たちは宇宙 Ω を忘れて、宇宙 X(Ω) だけに興味があることがよくあります。

有限宇宙Ω上で定義された確率変数の場合。

宇宙 Ω が有限であれば、宇宙 X(Ω) も有限です。 X(Ω) = {x ₁ , x ₂ , …, x _n }。

確率の法則

注意してください: このセクションで使用されている頻度主義的なアプローチ自体は、確率の概念を要約したものではありません。彼女は一例を示しただけです。多くの確率は、頻度の概念が介入しないイベントに関連付けられています。

確率法則は次のように構築できます: p _X ( x _i ) = p ( X = x _i )。 = p _i

例: 2 つのサイコロを振ることによって、1 から 6 までの整数のペアで構成される 36 個の要素からなる宇宙 Ω を作成します。この宇宙では、等確率を定義します (2 つのサイコロを振ることは 2 つの独立した実験です)。 2 つのサイコロの合計にのみ興味がある場合は、各ペアの合計を関連付ける確率変数 X を作成する必要があります。

したがって、宇宙 X(Ω) は {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} となります。この宇宙には 11 個の要素が含まれていますが、等確率を定義するには不十分です。

• _p 4, 3)}) + p({(5, 2)}) + p({(6, 1)}) = 6/36 = 1/6
• _p

したがって、X(Ω) に関する確率法則を作成できます。

期待値、分散、標準偏差

離散的な定量的統計系列の度数表に似た表の形での確率の法則と、実験が何度も繰り返されると 2 つの表が一致するという大数の法則の提示は、私たちに次のようなことを促します。また、 X の平均、分散、標準偏差も定義します。

統計系列の平均は、確率変数の場合には期待値と呼ばれます。この用語は間違いなく、運任せのゲームでの賞金に関する統計計算における最初の確率変数の有用性に由来しています。期待される利益は、多数のゲームにわたる賞金の平均に相当します。

$$ {E(X) = \sum_{i=1}^np_ix_i} $$

次に、分散は、頻度による分散の公式から類推して次のように記述されます。

$$ {V(X) = \sum_{i=1}^np_i(x_i – E(X))^2= \left(\sum_{i=1}^np_ix_i^2\right) – (E(X))^2 = E(X^2) – (E(X))^2} $$

標準偏差は常に分散の平方根のままです。

分布関数

確率変数 X の分布関数は、 R上で F(x) = p(X ≤ x) によって定義される関数 F です。

離散変数の場合、それはステップ関数です。確かに ：

• x < x ₁の場合、 F ( x ) = 0 になります。
• もし
  $$ {x_1 \leq x < x_2} $$
  この場合、 F ( x ) = p _{1 と}なります。
• もし
  $$ {x_2 \leq x < x_3} $$
  この場合、 F ( x ) = _p1 + _p2となります。
• …
• もし
  $$ {x_{n-1} \leq x < x_n} $$
  この場合、 F ( x ) = p ₁ + p ₂ + … + p _{n − 1}となります。
• もし
  $$ {x \geq x_n} $$
  その場合、 F ( x ) = 1 となります。

有名な法律

等確率に加えて、次のようなことにも遭遇する可能性があります。

• ベルヌーイの法則
• 二項法則
• 超幾何法則。