数学的分析では、分布(一般化関数とも呼ばれます) は、関数と測定の概念を一般化するオブジェクトです。分布理論は、導関数の概念をすべての局所的に積分可能な関数以上に拡張し、特定の偏微分方程式の解を定式化するために使用されます。これらは物理学や工学において重要であり、多くの不連続な問題が自然に微分方程式につながり、その解は通常の関数ではなく分布になります。
分布理論はフランスの数学者ローラン・シュワルツによって形式化され、1950 年にフィールズ賞を受賞しました。彼の導入では、双対性の概念を中心とした線形代数とトポロジーの概念が使用されています。
ディラック分布は分布の興味深い例です。これは用語の厳密な意味では関数ではありませんが、 0を除いて定義領域全体でゼロとなり、l ‘ が積分される縮退関数によって非公式に表すことができます。 1 の価値があります。このような数学的オブジェクトは物理学や信号処理に役立ちますが、通常の関数にはこれらの特性はありません。
基本的な考え方
通常、ある点での値を計算することによって関数を評価します。ただし、この方法では、関数の不規則性 (たとえば、不連続性) がかなりの役割を果たすことができます。分布理論の背後にある考え方は、より良い評価方法があるということです。それは、研究点の周囲のますます狭い領域で関数の値の平均を計算することです。したがって、加重平均を考慮することにより、次の形式の表現を検討することになります。
$$ {I_f(\varphi)=\int_\R f(x)\varphi(x)\, dx} $$
評価される関数
$$ {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} $$
ローカルで統合可能な関数であり、
$$ {\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} $$
は「テスト関数」と呼ばれる関数で、無限微分可能であり、有界集合の外では同一にゼロになります。
完全な
$$ {I_f(\varphi)} $$
は線形かつ連続的に依存する実数です
$$ {\varphi} $$
。したがって、可積分関数と関連付けることができることがわかります。
$$ {f\,} $$
テスト関数の空間上の連続線形形式。同じ連続線形形式を与える 2 つの局所的に積分可能な関数
fと
g は、ほぼどこでも等しくなります。つまり、関連するテスト関数の
評価の線形形式を知ることは同じことです。
より一般的には、 μ が実数の尺度とすると、
$$ {\varphi} $$
はテスト関数であり、積分
$$ {I_\mu(\varphi)=\int_\R \varphi(x)\, d\mu(x)} $$
は線形かつ連続的に依存する実数です
$$ {\varphi} $$
。測定値は、テスト関数空間上の連続線形フォームに関連付けることもできます。したがって、「テスト関数の空間上の連続線形」という概念は、分布の定義として使用されます。
分布は任意の実数で乗算し、加算することができます。したがって、一連の分布は実ベクトル空間を形成します。 2 つの分布の積を 2 つの関数の点積の一般化として定義することは一般に不可能ですが、分布は無限微分可能な関数で乗算できます。
分配理論
テスト関数空間
Ω を位相空間とします。テスト関数空間
$$ {\mathcal{D}(\Omega)} $$
は、
Ωに含まれるコンパクトなサポートを備えた
Ωから無限に微分可能な実数値関数のセットです。このベクトル空間に次のトポロジーを提供します: すべての場合、セットはオープンです。
$$ {K \subset \Omega} $$
コンパクトかつ
$$ {f \in U} $$
そのサポートが
Kに含まれている場合、
ε > 0が存在し、
$$ {k \ge 0} $$
のような
このトポロジを搭載すると、
$$ {\mathcal{D}(\Omega)} $$
は非計量化不可能な位相ベクトル空間です。
テスト関数の例:
のために
$$ {\Omega=\mathbb{R}} $$
私たちが定義する
$$ {\varphi : x\longmapsto \left\{\begin{matrix} e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \mbox{si }|x|<1\\ 0 & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.} $$
機能
$$ {\varphi} $$
東
$$ {C^\infty\,} $$
の上
$$ {\R} $$
そしてそのサポートは間隔です
$$ {[-1,1]\,} $$
。
分布
意味
分布は連続線形です。
$$ {\mathcal{D}(\Omega)} $$
。したがって、分布のセットは次の位相双対になります。
$$ {\mathcal{D}(\Omega)} $$
したがって、私たちはそれに注意します
$$ {\mathcal{D}'(\Omega)} $$
。
評価
T が分布であり、
$$ {\varphi} $$
テスト機能
$$ {\mathcal{D}(\Omega)} $$
それから私たちは注意します
$$ {T(\varphi)=\langle T,\varphi \rangle} $$
例
で
$$ {\mathcal{D}'(\mathbb{R})} $$
、アプリケーション
$$ {\varphi} $$
パートナー
$$ {\varphi(0)} $$
分布です。これは、Paul Dirac によって導入され、
δで表されるディラック分布です。定義上、
$$ {\langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0)} $$
。
分布の導出
分布の導関数を定義するために、まず微分可能かつ積分可能な関数の場合を見てみましょう
$$ {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} $$
。もし
$$ {\varphi} $$
はテスト関数であり、記述できる部分ごとに統合を実行します
$$ {\int_\R f'(x) \varphi(x)\, dx = -\int_\R f(x)\varphi'(x)\, dx \qquad\mathrm{soit}\qquad I_{f’}(\varphi)=I_{-f}(\varphi’)} $$
機能のように
$$ {\varphi} $$
境界セットの外側ではゼロである場合、エッジの問題は無視できます。もし
$$ {S\,} $$
は分布であるため、この例はその導関数を定義できることを示唆しています
$$ {S’\,} $$
テスト機能を持つ線形形式のような
$$ {\varphi} $$
値と一致します
$$ {-S(\varphi’)} $$
。この定義は導関数の通常の概念を拡張します。各分布は無限に微分可能になり、導関数の通常の特性を実証できます。
たとえば、次の特性関数の分布という意味での導関数です。
$$ {\mathbb{R}^+} $$
は 0 におけるディラック分布です。
