数学では、数値xの平方根は、2 乗 (数値をそれ自身で乗算した値) がx となる数値です。すべての正の実数には、主平方根と呼ばれる固有の正の平方根があり、次のように表されます。
代数学の基本定理によれば、任意の数の平方根を定義する方程式には常に 2 つの解 (互いに等しい場合もあります) が存在します。正の実数の場合、その 2 つの平方根は主平方根と負の平方根 (
完全な平方ではない整数の平方根は常に無理数です。つまり、分数として表すことはできません。例えば、
サイン
意味
アプリ
注意: 面積はユニバーサル システムで平方メートル、長さはメートルで表されます。平方メートルで表される量の平方根を取ると、メートルで表される量が得られます。物理学者は単位の分析を特に重要視します。この側面は数学では消去されます。実数は単位のない定数であり、正の実数の平方根は正の実数です。
分析
平方根関数は、すべての正の実数xおよびyに有効な次の基本プロパティをチェックします。
- $$ {\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}} $$
- $$ {\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}} $$
- $$ {\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}} $$（条件的には$$ {y\neq 0} $$)
- $$ {\sqrt{x^2} = \left|x\right|} $$ここで | × |は xの絶対値を示します。
ルート関数は、すべての正の実数xで連続です ( y がxに近い場合、
から派生した関数
- $$ {\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sqrt{x}={1 \over 2\sqrt{x}}} $$
ルート関数は実際にはクラスです
- $$ {\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\sqrt{x}={(-1)}^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}} \frac{1}{x^{n-1/2}}} $$
さらに良いことに、ルート関数は整数列に展開できます。点 1 における平方根関数のテイラー級数展開は、一般化された二項公式からすぐに得られます。
- $$ {\sqrt{1+h}=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}}h^n} $$
- $$ {=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n)! \over (n!)^2 (2n-1) 2^{2n}}h^n} $$
- $$ {=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {C_{2n}^n \over (2n-1)2^{2n}}h^n} $$
- $$ {= 1 + \frac{1}{2}h – \frac{1}{8}h^2 + \frac{1}{16} h^3 – \frac{5}{128} h^4 + \dots} $$
すべての本当のことのために | h | <1.
ついでに注意しておきますが、
- $$ {{C_{2n}^n \over (2n-1)}=2\left[C_{2n-2}^{n-1}-C_{2n-2}^n \right]} $$
したがって、 は自然数です[ref.必要] 。
平方根の幾何学的構造
次の幾何学的な構築は、定規とコンパスを使用して実行され、長さa のセグメント 0B が与えられると、長さのセグメントを構築できます。
セグメント OH の長さは次のとおりです
証明はピタゴラスの定理を適用することで構成されます。
したがって、OH 2 + a 2 = (a+1) 2 – (1 2 + OH 2 )、または単純化すると OH 2 = a となり、したがって、
この構築は構築可能な数の研究において重要です。
複素数の平方根
の平方根
ゼロ以外の複素数zについては、 w 2 = zとなる複素数w が2 つだけ存在します。トポロジカルな性質のため、平方根関数を拡張することは不可能です
開いたUでの平方根の決定を次のように呼びます。
平方根の主な決定は次の関数です。
数値が代数形式の場合、次のようになります。
- $$ {\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x} {2}} \pm i\sqrt{\frac{\left|x+iy\right| – x} {2}}} $$
ここで、ルートの虚数部の符号は、最初の数値の虚数部の符号と同じです (ゼロの場合は、慣例により + 符号を使用します)。
複素平面での平方根の主な決定は不連続な性質があるため、次の関係に注意してください。
代数における平方根の拡張
xとa を環Aの 2 つの要素とし、 x 2 = aとします。言葉の乱用とは、次のように書くことです。
行列と演算子の平方根
Aが有限次元の正定対称行列または正定自己共役演算子である場合、 B 2 = Aとなる正定対称行列または正定自己共役演算子B が1 つだけ存在します。次に、√ A = Bとします。
より一般的には、有限次元Aの正規行列または正規演算子には、 B 2 = Aとなる正規演算子Bが存在します。このプロパティは、ヒルベルト空間上の通常の有界演算子に一般化されます。
一般に、各AにはそのようなB演算子がいくつかあり、通常の演算子に対して平方根関数を満足のいく方法 (たとえば連続) で定義することはできません。正の定演算子は正の実数に関連し、通常の演算子は複素数に関連します。演算子理論に関する記事は、これらの側面をさらに発展させたものです。
平方根の抽出
最初のアルゴリズム
数値の平方根を抽出できるアルゴリズムを紹介します。明らかに、平方根が10 進数でない場合、アルゴリズムは決して終了しませんが、数値の順序が正確であるという結果にできる限り近づけます。
まず、数値の桁を小数点からペアに分割します。古典的な方法に従って除算を実行する場合と同じように、ルートを抽出する番号を先頭に置きます。平方根はこの数値の上に書き込まれます。
各段階で:
- まだ使用されていない数値の最も重要なペアを減らし、それを前のステップで得られた残りの可能性のあるものと並べます。
- r を以前に取得した平方根の中間結果とします (最初はゼロに等しい)。数値y=(20r + x)x が現在の値を超えないような最大の桁xを探します。この新しい数値x を、下のペアの上の上部の行に配置します。
- 現在の値からy を減算して、新しい剰余を形成します。
- 剰余がゼロで、それ以上下げる桁がない場合、アルゴリズムは終了し、そうでない場合は、再度開始します。
(注: 太字の数字のシーケンスは、最初の数字の上、アルゴリズムに従って処理された数字のペアの上に徐々に追加され、結果は 12.34 になります。小数点の位置は重要ですが、取得する必要はありません。計算中に考慮されますが、最後にメモしてください)
1 2 3 4 01 52.27 56 1 このステップでは r=0 x=1 01 1 y=(20*0+1)1 = 1 <= 01 一方、(20*0+2)* = 4 > 01 したがって、x = 1 ____ _ 次のステップのために1 : r=1 を入力します 00 52 2x 01-01=00 と下位 52 を設定しました: 52 が表示されます x=2 00 44 12 y=(20*1+2)2 = 44 <= 52 ですが、20*1+3*3= 69 > 52 したがって、x = 2 _____________ 次のステップでは2 : r=12 と入力します。20*r = 240 08 27 24x 52-44 = 08、08 と下位 27 を追加します: 827 が表示されます x=3 07 29 123 y=(20*12+3)*3 = 243*3 = 729 < 827 _____________ 次のステップでは3 : r=123 を入力します。20*r=2460 98 56 246x 827-729 = 98、98 と下位 56 を追加すると、9856 と表示されます x=4 98 56 1234 y=(20*123+4)*4 = 9856 _______ 4 を入力します: r=1234 00 -- 9856-9856 = 0、これ以上下げるものはありません: アルゴリズムの終了
検証 ：
12.34 × 12.34 = 12 × 12 + 2 × 12 × 0.34 + 0.34 × 0.34。 = 144 + 8.16 + (0.32×0.32 + 2×0.02×0.32 + 0.02×0.02) = 144 + 8.16 + 0.1024 + 0.0128 + 0.0004 = 152.2756
19世紀まで、このアルゴリズムは、一連の棒 (ネピア棒) で構成されるそろばんを使用して計算を加速することによって一般的に使用されていました。
ここでは 10 進数で書かれた数値について説明しますが、この手順は 2 進数を含むどの進数でも機能します。上記では、 20 は基数の 2 倍を表し、2 進数ではこの数値は100に置き換えられます。
サギの手法
Heron の方法は、平方根を近似するためのアルゴリズムです。その重要性は何よりも歴史的であり、バビロニア人によって開発されました。いくつかの除算を犠牲にして、良好な近似値が得られます。
- 近似値を出してみましょう$$ {u_0 = 1\,} $$。段階的に計算します。
- $$ {\frac{2}{u_0} = \frac{2}{1} = 2} $$
- $$ {u_1 = \frac{1}{2}\left(u_0 + \frac{2}{u_0}\right)} $$
- $$ {u_1 = \frac{1}{2}(1 + 2) = \frac{3}{2} = 1.5} $$
- $$ {u_2 = \frac{1}{2}\left(u_1 + \frac{2}{u_1}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\right)= \frac{17}{12}\approx 1,4167} $$
- $$ {u_3 = \frac{1}{2}\left(u_2 + \frac{2}{u_2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right)= \frac{577}{408}\approx 1,414 216} $$
- したがって、2 の平方根を精度10 − 4で取得しました。
ニュートンの公式を使用してこの方法を簡略化することで、よりアルゴリズム的なアプローチを実現できます。
- もう一度近似値を出してみましょう$$ {r = 1\,} $$。段階的に計算します。
- $$ {r = \sqrt{2}\approx\frac{\frac{2}{1}+1}{2} \approx 1,5} $$
- $$ {r = \sqrt{2}\approx\frac{\frac{2}{1,5}+1,5}{2} \approx 1,4167} $$
- $$ {r = \sqrt{2}\approx\frac{\frac{2}{1,4167}+1,4167}{2} \approx 1,414216} $$
- 2 の平方根を精度10 − 4で求めます。
- この式を適用すると、基本的な言語で次のように書くことができます。
点滴法による計算
平方根、整数近似
ビデオゲームのプレゼンテーションのデザイナーは、自然数の平方根の整数部分のテーブルを作成する必要がある場合があります。最初のものは次のように与えられます。
| 四角 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | .. | 15 | 16 | 17 | .. | 24 | 25 | 26 | 27 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 根 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | .. | 3 | 4 | 4 | .. | 4 | 5 | 5 | 5 |
最初の項を観察すると、シーケンスが整数から整数へと停止し、規則的に 1 増分ずつ連続してジャンプすることがわかります。より正確には、
- 0が1回繰り返され、
- 1、3回
- 2.5倍
- 3、7回
- 4回目、9回目
整数nが繰り返される回数は、 n番目の奇数の整数です。証明は次のアイデンティティに基づいています。
- $$ {(a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,} $$
形状
身元
- $$ {2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}} $$
同様の理由で、次の結果が得られます。
- $$ {3 = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}} $$;$$ {4 = \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}}} $$; …
r が厳密に 1 より大きい整数の場合、
- $$ {r = \sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}} $$
より一般的には、 p が1 以上の実数の場合、
- $$ {\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\cdots}}}} = \frac{1+\sqrt{(4\,p+1)}}{2}} $$
p が 1 に等しい場合、黄金比が得られます。
- $$ {\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}} $$。
数学者ラマヌジャンは 3 の代替公式を入手しました。彼は分解から始めました。
- $$ {(n+p)^2 = 1 + [n+(p-1)][n+(p+1)]\,} $$
p = 2を設定して積n ( n + p )を構築しました。
- $$ {n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)(n+3)}} $$
彼は( n + 3)という項を置き換えました。
- $$ {n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}}} $$
ラマヌジャンは、限界に達することを気にせずにn を1 に置き換えることを無限に繰り返し、きれいな公式を取得しました。
- $$ {3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots}}}}}} $$
nとp を他の正の値に設定するか、結果の式を二乗することによって、次のような他の優れた式を構築することもできます。
- $$ {4 = \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\cdots}}}}}} $$
要約すると、次の関係が無限に繰り返されます。
- $$ {n+2 = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}} = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)\sqrt{1 + (n+3)(n+5)}}}} $$
したがって、厳密に 1 より大きいすべての整数を平方根の無限反復として表すことができます。
特に、n = 0 に設定することで、常に限界までの通過を気にせずに済みます。
- $$ {2 = \sqrt{1 + \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7\sqrt{1 + 8\sqrt{1 + 9\sqrt{1 + \cdots}}}}}}}}}}} $$
数値 π は平方根の無限反復として表されます。
- $$ {\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 – \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right )} $$ここで、 k はネストされた平方根の数です。
または、もう一度:
- $$ {\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 – \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )} $$
1 から 20 までの整数の平方根
- $$ {\sqrt {1}} $$
= 1 $$ {\sqrt {2}} $$≈ 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462 $$ {\sqrt {3}} $$≈ 1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909 $$ {\sqrt {4}} $$= 2 $$ {\sqrt {5}} $$≈ 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638 $$ {\sqrt {6}} $$≈ 2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457 $$ {\sqrt {7}} $$≈ 2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230 $$ {\sqrt {8}} $$≈ 2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924 $$ {\sqrt {9}} $$= 3 $$ {\sqrt {10}} $$≈ 3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639 $$ {\sqrt {11}} $$≈ 3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609 $$ {\sqrt {12}} $$≈ 3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818 $$ {\sqrt {13}} $$≈ 3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293 $$ {\sqrt {14}} $$≈ 3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307 $$ {\sqrt {15}} $$≈ 3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937 $$ {\sqrt {16}} $$= 4 $$ {\sqrt {17}} $$≈ 4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338 $$ {\sqrt {18}} $$≈ 4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386 $$ {\sqrt {19}} $$≈ 4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203 $$ {\sqrt {20}} $$≈ 4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276
完全平方根のみが有理平方根を許容することに気づきました。