円錐曲線は広く使用されている代数平面曲線のファミリーであり、いくつかの異なる方法で定義でき、そのすべては互いに等価です。
純粋に幾何学的なユークリッド定義
円錐曲線は、平面と回転円錐の交差によって生じる平面曲線のファミリーを形成します。
平面と円錐の相対位置に応じて、さまざまなタイプの円錐曲線が得られます。
- 平面が円錐の軸に垂直でなく、その頂点を通過しない場合は、適切な円錐曲線になります。円錐の軸に対する平面の傾斜角度に応じて、適切な円錐曲線を 3 種類に区別します。
- この角度が円錐の開き角度より大きい場合、交差点は楕円になります。
- 傾斜角が開き角より小さい場合、それは双曲線です。
- 2 つの角度が等しい場合、それは放物線になります。
- 部分的に縮退した円錐曲線:
- 平面が円錐の軸に垂直な場合、交差点は円になります。
- 平面の傾斜角が円錐の開き角より 45°小さい場合、交点は正双曲線になります。
- 平面に円錐の頂点が含まれる場合、完全に縮退した円錐曲線:
- 円錐の軸に対する平面の傾斜角が円錐の開き角より小さい場合、交差点は一対の割線となる。
- これらの角度が等しい場合、交点は直線になります。
- 傾斜角が開き角よりも大きい場合、最終的にはある点まで減少します。
純粋な射影定義
これには、ブレーズ パスカルとジラール デザルグの最も純粋な伝統に従って、定規と鉛筆といくつかの公理だけを使って、距離や角度を使わずに円錐曲線を定義することが含まれます。 円錐曲線に関する射影論文を参照してください。
単焦点の定義
円錐の単焦点定義は、これらの円錐の焦点およびディレクター定義とも呼ばれます。
意味
平面(p)内で、直線(d)と(d)上にない点F を考えます。 e を厳密に正の実数とします。
直線(d) 、焦点Fおよび離心率eの円錐を平面の点Mの集合(p)と呼び、以下を検証します。
- $$ {(lien)\ d(M,F) = e\ d(M,(d)) \qquad e \in\mathbb{R}^*_+} $$
または
- d ( M , F ) は、点Mから点Fまでの距離を測定します。
そして
- d ( M ,( d )) は、点Mから線(d)までの距離を測定します。
楕円は閉じた有界曲線であり、放物線は開いて無限であり、双曲線には共通の漸近線の交点に関して対称な 2 つの枝があることに注意してください。
方程式
直線(d)上の点Fの正射影をOとします。次に、平面(p)で直交座標系 ( O 、 (OF) 、 (d) ) を定義します。
p をOからFまでの距離とします ( p をパラメータと呼びます)。以前に定義された参照フレームでは、 F の座標は ( p ,0) になります。
座標( x , y )を持つ点Mの場合、次の 2 つの公式を使用して以前の距離を表すことができます。
- $$ {(lien) \qquad d(M,F) = \sqrt{ (x-p)^2 + (y-0)^2 }} $$
- $$ {(lien) \qquad d(M,(d)) = \sqrt{ (x-0)^2 }} $$
これは、(link)を 2 乗し、(link) と (link) を使用することによって意味されます。
- $$ {(lien) \qquad (x-p)^2 + y^2 = e^{2}x^2} $$
または簡略化した後:
- $$ {(lien) \qquad x^2(1-e^2) + y^2 – 2xp + p^2 = 0} $$
eの値に応じて、いくつかのタイプの曲線が得られます。
- 0 < e < 1の場合は楕円
- e = 1の場合、放物線
- e > 1 の場合、双曲線
縮退円錐曲線は、前の条件を変更することで取得されます。
- F がD上にある場合、次が得られます。
- e < 1の場合、点O (点Fでもあります)。
- e = 1の場合、 (d)に垂直な線はFを通過します。
- e > 1の場合、2 つの交差する線。
- e = 0の場合、点O (点Fでもあります)。
したがって、世帯や役員によるサークルの定義はありません。一方、pe = r で、e が 0 に近づく傾向がある場合 (焦点と準線の間の距離が無限に増加します)、楕円は中心 F、半径 r の円に近づきます。
二重焦点の定義
楕円は、楕円の焦点と呼ばれる 2 つの固定点までの距離の合計が一定で固定値に等しい点の軌跡として定義できます。この定義は、焦点が結合された円の場合にも有効です。
双曲線は、双曲線の焦点と呼ばれる 2 つの固定点からの距離の差が一定で固定値に等しい点の軌跡として定義できます。
この皿には二重焦点の定義がありません。
分析的定義
アフィンケース
アフィン解析幾何学では、円錐曲線は 2 次の代数平面曲線、つまり、点の デカルト座標xとy が次の形式の 2 次の多項式の解である平面曲線です。
- $$ {A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,} $$
3 つの係数A 、 BまたはCの少なくとも 1 つがゼロではないため、方程式は事実上 2 次になります (条件 (1))。
使用する参照に応じて、方程式の式は多かれ少なかれ単純になりますが、常に 2 級のままです。縮小方程式と呼ばれる方程式の式が最も単純になるベンチマークを探すのは興味深いことです。
これを行うには、フレームを回転することで係数B を常にゼロにすることが常に可能であることに最初に気づくことができます。
次に、係数AとCを見てみましょう。
- 係数Cもゼロの場合、 A は必然的にゼロではないため (条件 (1))、 x軸に沿った平行移動により係数D をキャンセルすることができます。
- Eがゼロの場合、 p = – F / Aと設定すると、方程式は次のようになります。
- $$ {x^2 = p \,} $$
- pの符号に応じて、 0 ～ 2 本の平行線が得られます。
- Eがゼロ以外の場合、 y軸に沿った移動によりF がキャンセルされます。 p = -A / Eを設定すると、放物線の縮小デカルト方程式が得られます。
- $$ {y = p\,x^2 \,} $$
- 係数Aがゼロの場合、 xとyの役割が交換される、前の対称的な状況が得られます。したがって、引き続き次の情報が得られます。
- Dが 0 の場合、 0 ～ 2 本の平行線、
- Dがゼロ以外の場合、簡略化された方程式のたとえ:
- $$ {x = q\,y^2 \,} $$
- 係数AとC が両方とも 0 以外の場合、 x軸に沿った移動によりD がキャンセルされ、 y軸に沿った移動によりE がキャンセルされます。したがって、方程式は次のようになります。
- $$ {A x^2 + C y^2 = – F \,} $$
- AとC の符号が同じ場合:
- – Fも同じ符号の場合、対応する曲線はありません。
- – Fがゼロの場合、曲線は点に縮小されます。
- – Fが反対の符号の場合、 a 2 = – F / Aおよびb 2 = – F / Cを設定できます。 したがって、 ELLIPSEの縮小デカルト方程式に到達します。
- $$ {( x / a )^2 + ( y / b )^2 = 1 \,} $$
- AとC の符号が反対の場合:
- – Fが 0 の場合、曲線は2 つの交差する線(= 交差する線) に縮小されます。
- – F がAの符号を持つ場合、 a 2 = F / Aおよびb 2 = -F / Cと設定できます。 したがって、 HYPERBOLに還元されたデカルト方程式に到達します。
- $$ {( x / a )^2 – ( y / b )^2 = -1 \,} $$
- – F がCの符号を持つ場合、 a 2 = -F / Aおよびb 2 = F / Cを設定できます。 したがって、 HYPERBOLEに還元されたもう 1 つのデカルト方程式に到達します。
- $$ {( x / a )^2 – ( y / b )^2 = 1 \,} $$
射影の場合
射影解析幾何学では、円錐曲線はやはり 2 次の代数平面曲線です。つまり、その点が射影座標X 、 Y 、 Z を持つ平面曲線であり、形状の 2 次の同次多項式を検証します ( を参照)。同次座標):
- $$ {A X^2 + B X Y + C Y^2 + D X Z + E Y Z + F Z^2 = 0 \,} $$
したがって、一般的な点が同次座標[ X : Y : Z ]を持ち、 2 つの比例同次座標( [ λ特定のλ ) が平面上の同じ点を示す射影平面で作業します。私たちの射影平面には、アフィン平面のコピーがいくつか含まれています。特に[ X : Y :1] の形式の同次座標を許容する点のセット。
Z = 1 の場合、アフィンの場合の方程式が見つかることがわかります。実際、次のようなものがあります。
- $$ {x = X / Z \,} $$そして$$ {y = Y / Z \,} $$
そこで、私たちが自問する最初の質問は、上で定義したアフィン平面内の円錐曲線のイメージに限定すると、どのようなタイプのアフィン円錐曲線が見つかるのかということです。 (そして、本当にアフィン円錐曲線を見つけることができるでしょうか?)。これを行うために、まず無限遠での挙動 (漸近線や放物線の分岐の存在など) を調べます。 xとy を無限大に向けることは、 Z を0 に向けることと同じです。Z = 0 の場合、前の式は次のようになります。
- $$ {A X^2 + B X Y + C Y^2 = 0 \,} $$
この方程式は、 Y / X比が曲線の無限遠での傾き、つまり漸近方向を与えるため、 漸近方向の方程式 と呼ばれます。
- C = 0 の場合:
- B = 0 の場合、方程式には 2 倍多重度の解X = 0 があり、これは無限大での傾きに対応し、したがって 2 倍の垂直漸近方向に対応します。したがって、曲線は垂直軸を持つ放物線、または 0 ～ 2 本の平行な垂直直線のいずれかになります。
- Bがゼロ以外の場合、2 つの単純な漸近方向が得られます。1 つは垂直で、もう 1 つは垂直ではありません。したがって、曲線は双曲線または 2 本の平行線のいずれかになります。
- Cがゼロ以外の場合、 t = Y / Xと設定すると、方程式は次のようになります。
- $$ {A + B t + C t^2 = 0 \,} $$
- この方程式の判別式が厳密に正の場合、2 つの異なる単純な漸近方向が得られ、曲線は双曲線または 2 本の同時直線になります。
- この方程式の判別式がゼロの場合、二重漸近方向が得られ、曲線は放物線または 0 ～ 2 本の平行線のいずれかになります。
- この方程式の判別式が厳密に負の場合、曲線には漸近方向がないため、無限分岐はなく、曲線が存在する場合は楕円または点になります。
ただし、射影幾何学を使用する本当の関心は別のところにあります。アフィンの場合に行われ、射影フレームワークで再解釈された分類は、アフィン座標の変化に基づいています。そしてこれは、アフィン平面が射影平面の一部として見なされ、線を無限遠に固定したままにする射影座標の変化として解釈できます (つまり、 [ X , Yの形式の射影平面の点です)。 ,0] )。明らかに他にも多くの射影座標の変更があり、それらを使用できるようにすると、円錐曲線の分類が大幅に緩和されます。実際、射影円錐曲線の分類は、射影平面の基礎となる 3次元ベクトル空間上の対称双線形形式の分類から直接得られます。
重心の場合
重心解析幾何学では、円錐曲線は常に 2 次の代数平面曲線、つまり、形状の 2 次の等次多項式を満たす重心座標λ 、 μ 、およびνを持つ点を持つ平面曲線です。
- $$ {A_{11} \lambda^2 + A_{22} \mu^2 + A_{33} \nu^2 + 2 A_{12} \lambda \mu + 2 A_{23} \mu \nu + 2 A_{31} \nu \lambda = 0 \,} $$
次のように尋ねることによって、この方程式を前の方程式と識別できます。
- $$ {\lambda = X , \ \mu = Y , \ \nu = Z} $$
次に、乗算係数までを取得します。
- $$ {A_{11} = A , \ A_{22} = C , A_{33} = F , A_{12} = B / 2 , A_{23} = E / 2 , A_{31} = D / 2 \,} $$