導入
重心を通らず、重力場内に置かれた軸 (原則として水平)の周りを移動する固体を計量振り子と呼びます。固体は、重心が軸に対して垂直である平衡 (安定) 位置からずれると、このいわゆる平衡位置の両側で振動し始めます。時計の振り子やブランコなどは重い振り子を構成します。
最も単純なケースは、物体の質量に比べて無視できる質量のワイヤー (またはロッド) にぶら下がっている小さな重い物体からなる振り子です。このような振り子を単振り子といいます。
単振り子は、ガリレオが詳細かつ科学的に研究したため、歴史的に重要です。
簡易計量振り子モデルの理論的研究
機械的エネルギーの保存から単純に振動運動の微分方程式を確立することができます。摩擦を無視すると、振り子の機械的エネルギーは一定であり、それは運動エネルギーと位置エネルギーの合計です。
単純な秤量振り子モデルの場合、物体は点質量mに還元され、軸から距離lで移動すると考えます (ワイヤまたはロッドの長さ、非伸張性および質量がないと考えられます)。私たちは次のように推測します。
- $$ {E_m = E_c+E_p= \frac{1}{2}m l^2 \dot{\theta}^2+mgl(1-\cos\theta)=mgl(1-\cos\theta_o)} $$と$$ { \dot{\theta} = \frac{d \theta}{d t}} $$
機械的エネルギーは時間の経過とともに一定であるため、その微分値はゼロになります。時間に関して上記の関係を導き出すと、単純化後に次のことが得られます。
- $$ {\theta” + {g \over l}\sin \theta = 0} $$
この方程式は非調和発振器のもの、つまり非正弦波のものです。
振動の周期Tは動きの振幅によって異なります。
一方、周期は質量に依存しません。
振動周期を正確に表現
変数を次のように分割します。
- $$ { \frac{m l^2\, (\frac{d \theta}{d t})^2}{2}-m g l \cos(\theta) = -m g l \cos (\theta_0)} $$
- $$ { \frac{ml^2 (\frac{d \theta}{d t})^2}{2} = m gl ( \cos(\theta) – \cos( \theta_0))} $$
- $$ { {({d t})^2} = \frac{l \, (d \theta)^2}{2g (\cos(\theta) – \cos(\theta_0))}} $$そしてこの最後の表現の根をとります
- $$ { {d t} = \sqrt{\frac{l }{2g}} \frac{d \theta}{\sqrt{\cos(\theta) – \cos(\theta_0)}}} $$
振幅θ 0の振動周期の正確な式が得られます。これは次のとおりです。
- $$ { T= 4 \sqrt{\frac{l}{2g}}\int_0^{\theta_0}{\frac{d \theta}{\sqrt{\cos(\theta) – \cos(\theta_0)}}} } $$
この式は、T= 0 からθ oまでにかかる時間の 4 倍であることに注目することで簡単に推測できます。
- $$ { T= 4 \sqrt{\frac{l}{ g}} K (\sin \frac{ \theta_0}{ 2}) = T_0 {2K (\sin \frac{ \theta_0}{ 2}) \over \pi}} $$
表現
T を級数形式で表すこともできます。入れたら
- $$ {T = 2\pi \sqrt{l \over g} \sum_{n=0}^\infty {2n \choose n}^2 {\gamma^{2n} \over 16^n}} $$、 または$$ {{2n \choose n}} $$は二項係数です。
γ を θ 0の関数として展開すると、次のようになります。
- $$ {T = 2\pi\sqrt{l \over g} (1 + {\theta_0^2 \over 16} + {11\theta_0^4 \over 3072} + …)} $$。
以下の表では角度が度で示され、最初の 2 列はラジアンで示されています。
の価値観と同様に、
$$ {\theta\,} $$ | $$ {\theta\,} $$ | $$ {1+\frac{\theta_0^2}{16}} $$ | $$ {1+\frac{\theta_0^2}{16}+ {11\theta_0^4 \over 3072}} $$ | $$ {{2K (\sin \frac{ \theta_0}{ 2}) \over \pi}} $$ |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 0.175 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
| 20 | 0.349 | 1.01 | 1.01 | 1.01 |
| 30 | 0.524 | 1.02 | 1.02 | 1.02 |
| 40 | 0.698 | 1.03 | 1.03 | 1.03 |
| 50 | 0.873 | 1.05 | 1.05 | 1.05 |
| 60 | 1,047 | 1.07 | 1.07 | 1.07 |
| 70 | 1,222 | 1.09 | 1.10 | 1.10 |
| 80 | 1,396 | 1.12 | 1.14 | 1.14 |
| 90 | 1,571 | 1.15 | 1.18 | 1.18 |
| 100 | 1,745 | 1.19 | 1.22 | 1.23 |
| 110 | 1,920 | 1.23 | 1.28 | 1.30 |
| 120 | 2,094 | 1.27 | 1.34 | 1.37 |
| 130 | 2,269 | 1.32 | 1.42 | 1.47 |
| 140 | 2,443 | 1.37 | 1.50 | 1.60 |
| 150 | 2,618 | 1.43 | 1.60 | 1.76 |
| 160 | 2,793 | 1.49 | 1.71 | 2.01 |
| 170 | 2,967 | 1.55 | 1.83 | 2.44 |
| 180 | 3,142 | 1.62 | 1.96 | $$ {\infty} $$ |
θ 0の角度が 50° の場合、周期は次の単純な式で与えられる周期より 5% 大きくなることがわかります。
微小振動の周期の近似式
小さな振動の場合、微分方程式は近似的に次のように書くことができます。
- $$ {\theta” + {g \over l}\theta = 0} $$
したがって、正弦波の角度に近づくことができる小さな振幅では、振り子は調和振動子のように動作することがわかります。したがって、周期は振幅に依存しません。これを微小振動の等時性といいます。この期間は次のように単純に表現されます。
- $$ {T_o = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}} $$
ボルダの表現の限界に合わせて。
複式秤量振り子の周期
重い振り子の場合、回転に対する慣性の影響を重心に置かれた点質量にまで還元することはできません。回転するのは固体全体であり、その慣性は、 Jで示される慣性モーメントと重心から軸までの距離lによって特徴付けられます。
低振幅では、振動の等時性も検証され、対応する周期は次のようにJの関数として表されます。
- $$ {T = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{J}{mgl}}} $$; (単振り子 J= m.l² の場合)