オーギュスタン ジャン フレネル (1788-1827) によって導入されたフレネル係数は、屈折率が異なる 2 つの媒体間の界面における電磁波の反射屈折現象の記述に関与します。これらは、入射波の振幅に対する反射波と透過波の振幅間の関係を表します。
これを行うには、次のように電場の振幅反射係数rと振幅透過係数t を導入します。
ここで、E i 、E r 、および E t は、それぞれ入射電場、反射電場、および透過 (屈折)電場に関連付けられた振幅です。
一般に、これらの係数は以下に依存します。
- 入口媒体と出口媒体の誘電率、それぞれ ε 1と ε 2
- 入射波の周波数f
- 入射角θ i =θ 1および屈折透過角θ t =θ 2 、
- 波の偏光のこと。これにより、当初は偏光していなかった波が偏光する可能性があります。
それらは、波に関連する電界と磁界の接線成分の界面における連続関係を考慮することによって得られます。
通常の場合の係数の計算
平面界面によって分離された、異なる屈折率を持つ 2 つの媒体を考えてみましょう。入射波は波数ベクトルを持つ平面波です
フレネル係数は電磁場の偏光に依存します。通常、次の 2 つのケースを考慮します。
- 横電界 (TE): 入射電場は入射面に対して垂直に分極され、磁場は入射面内に含まれます。
- 横磁性 (TM): 入射磁場は入射面に対して垂直に分極され、電場は入射面内に含まれます。
作業仮説
ここで計算されたフレネル係数は、メディアに関する次の仮説の下でのみ有効です。
- 対象となる媒体は非磁性です
- 考慮される環境は、線形、均質、等方性です。
また、計算仮説、つまり特定の周波数での電磁量を考慮し、それらを複素量の実部として記録することで構成される調和仮説を追加します。これにより計算が簡素化され、吸収、波の位相シフト、エバネッセント波などの電磁現象を美しい方法で方程式を導き出すことも可能になります。
電波横波の場合
電磁平面波を考えてみましょう。
- $$ {\vec{E} \ = \ E \exp{i(\vec{k}.\vec{r}-\omega.t)} \ \vec{e}_{y}} $$ここで、 E は複素振幅を表します
- $$ {\vec{H} \ = \ \frac{1}{i\omega\mu} (\vec{k}\times\vec{E})} $$
入射電場が入射面に対して垂直に分極している場合、電場の接線成分と磁場の接線成分は連続です。
- $$ {E_i + E_r \ = \ E_t \Rightarrow 1 + r_{TE} \ = \ t_{TE}} $$
- $$ {k_{iz} \ (1 – r_{TE}) \ = \ k_{tz} \ t_{TE}} $$
次に、透過係数と反射係数が次のように書き込まれます。
$$ {r_{TE} \ = \ \frac{k_{iz}-k_{tz}}{k_{iz}+k_{tz}} \ , \ t_{TE}=\frac{2k_{iz}}{k_{iz}+k_{tz}}} $$ |
媒質ごとに分散関係を導入すると、
$$ {r_{TE} \ = \ \frac{n_{1} \cos \theta_{1} – n_{2} \cos \theta_{2}}{n_{1} \cos \theta_{1} + n_{2} \cos \theta_{2}} \ , \ t_{TE} \ = \ \frac{2n_{1} \cos \theta_{1}}{n_{1} \cos \theta_{1} + n_{2} \cos \theta_{2}}} $$ |
考察: 屈折率は複素数であるため、透過波と反射波の偏光は入射波に応じて変更できます。たとえこれらの指標が本物だったとしても、
磁気横波の場合
$$ {r_{TM} \ = \ \frac{\epsilon_{2} k_{iz} – \epsilon_{1} k_{tz}}{\epsilon_{2}k_{iz}+\epsilon_{1}k_{tz}} \ , \ t_{TM} \ = \ \frac{2\epsilon_{2} k_{iz}}{\epsilon_{2}k_{iz}+\epsilon_{1}k_{tz}}} $$ |
環境ごとに分散関係を導入することで、
$$ {r_{TM} \ = \ \frac{n_{2} \cos \theta_{1} – n_{1} \cos \theta_{2}}{n_{2} \cos \theta_{1} + n_{1} \cos \theta_{2}} \ , \ t_{TM} \ = \ \frac{2n_{1} \cos \theta_{1}}{n_{2} \cos \theta_{1} + n_{1} \cos \theta_{2}}} $$ |
注: 作品によっては、フレネル係数の符号が異なることに注意してください。これは、開始時に行われた任意の方向から来ています。たとえば、H r を図の前方に向けると、 rの計算においてE r を-E rに置き換えることになり、係数の符号が変わります。
考察: TM の症例は 2 つの点で注目に値します。
- 反射係数は、ブリュースター角と呼ばれる入射角に対してゼロになることがあります。
- 特定の状況（金属と空気の界面）では、反射係数TMの分母がゼロになることがあります（係数は無限大になります！）。次に、入射波なしで反射波と透過波を取得します。分母の検討により実現条件が特定され、波数ベクトルの成分は虚数になります。したがって、このプロセスではエバネッセント波が使用され、表面プラズモンの出現が引き起こされます。
誘電体と金属媒体の違い
誘電体と金属ではフレネル係数が異なる必要があります。媒体内の電流と自由電荷の有無は同じ流れの関係を意味しないため、フレネル係数は同じになります。ただし、多くのいわゆる「オーミック」金属 (導電率 σ で表される) の場合、均質なオーミック金属(ε、μ 0 、σ) を誘電率の均質な誘電体で置き換えることが可能です。