基本的な確率変数について詳しく解説

実際の確率変数の概念は、ランダム実験の結果が定量化可能になるとすぐに使用されます。これは、各ゲームで利益が得られる (= ポケットに入れられた金額 – 賭け金) というゲームの考察から生まれました。問題は、ゲーム中に強制停止が発生した場合に、賭け金をどのように公平に分配するかということでした。ブレーズ・パスカルはその設立に多大な貢献をしました。

実数確率変数を、 Rに対する確率 p が与えられた宇宙Ω の写像 X と呼びます。このアプリケーションは、p から確率を構築できる新しいユニバース X(Ω) を作成します。この確率は X の確率法則と呼ばれます。私たちは宇宙 Ω を忘れて、宇宙 X(Ω) だけに興味があることがよくあります。フランス語では、確率変数は関数として表現されるということを基本的に覚えておきましょう。

有限宇宙Ω上で定義された確率変数の場合。

宇宙 Ω が有限であれば、宇宙 X(Ω) も有限です。 X(Ω) = {x ₁ , x ₂ , …, x _n }。

確率の法則

注意してください: このセクションで使用されている頻度主義的なアプローチ自体は、確率の概念を要約したものではありません。彼女は一例を示しただけです。多くの確率は、頻度の概念が介入しないイベントに関連付けられています。

確率法則は次のように構築できます: p _X ( x _i ) = p ( X = x _i )。 = p _i

例: 2 つのサイコロを振ることによって、1 から 6 までの整数のペアで構成される 36 個の要素からなる宇宙 Ω を作成します。この宇宙では、等確率を定義します (2 つのサイコロを振ることは 2 つの独立した実験です)。 2 つのサイコロの合計にのみ興味がある場合は、各ペアの合計を関連付ける確率変数 X を作成する必要があります。

したがって、宇宙 X(Ω) は {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} となります。この宇宙には 11 個の要素が含まれていますが、等確率を定義するには不十分です。

• _p 4, 3)}) + p({(5, 2)}) + p({(6, 1)}) = 6/36 = 1/6
• _p

したがって、X(Ω) に関する確率法則を作成できます。

期待値、分散、標準偏差

離散的な定量的統計系列の度数表に似た表の形での確率の法則と、実験が多数回繰り返される場合に 2 つの表が一致するという大数の法則の提示は、私たちに次のことを促すものです。また、 X の平均、分散、標準偏差も定義します。

統計系列の平均は、確率変数の場合には期待値と呼ばれます。この用語は間違いなく、運任せのゲームでの賞金に関する統計計算における最初の確率変数の有用性に由来しています。期待される利益は、多数のゲームにわたる賞金の平均に相当します。

$$ {E(X) = \sum_{i=1}^np_ix_i} $$

次に、分散は、頻度による分散の公式から類推して次のように記述されます。

$$ {V(X) = \sum_{i=1}^np_i(x_i – E(X))^2= \left(\sum_{i=1}^np_ix_i^2\right) – (E(X))^2 = E(X^2) – (E(X))^2} $$

標準偏差は常に分散の平方根のままです。

分布関数

確率変数 X の分布関数は、 R上で F(x) = p(X ≤ x) によって定義される関数 F です。

離散変数の場合、それはステップ関数です。確かに ：

• x < x ₁の場合、 F ( x ) = 0 になります。
• もし
  $$ {x_1 \leq x < x_2} $$
  この場合、 F ( x ) = p _{1 と}なります。
• もし
  $$ {x_2 \leq x < x_3} $$
  この場合、 F ( x ) = _p1 + _p2となります。
• …
• もし
  $$ {x_{n-1} \leq x < x_n} $$
  この場合、 F ( x ) = p ₁ + p ₂ + … + p _{n − 1}となります。
• もし
  $$ {x \geq x_n} $$
  その場合、 F ( x ) = 1 となります。

有名な法律

等確率に加えて、次のようなことにも遭遇する可能性があります。

• ベルヌーイの法則
• 二項法則
• 超幾何法則。

密度確率変数

宇宙Ωは無限であり、宇宙X(Ω)も無限であることが起こります。 X(Ω) のすべてのx に対して p _X (x) を計算することは、多くの場合、イベントの確率を計算するのに十分ではなく、これらの_pについても一般的です。したがって、 _{p を}直接計算する必要があります。

確率密度

事象の確率「a ≤」の場合、X は密度 f の確率変数であると言います。

p([a ; a]) = 0、つまり p(]a ; b]) = p([a ; b]) であることがわかります。これは、この場合に広範なまたは厳密な不等式で取られる自由を説明します。

ヒストグラムから確率密度へ

実験 X を 10,000 回繰り返すことにより、連続的な統計系列を作成します。次に、同じ振幅のクラスで得られたさまざまな値を並べて、周波数のヒストグラムを描画できます。基本長方形[ _xi , x _i+1 ] の面積は、クラス [ _xi , x _i+1 ] の頻度を表します。このヒストグラムはステップ関数を描画します。

x _iと x _jの間の曲線の下の面積は、クラス [x _i , x _j ] の頻度を表します。しかし、大数の法則により、この周波数は p([x _i , x _j ]) の適切な近似であることがわかります。実験を掛け合わせ、クラスを改良することにより、階段関数は、区間 [a; b] は区間 [a; b] の確率をよく表します。 b]。この関数は変数 X の確率密度と呼ばれます。

私たちは、関心のある値の間の曲線の下の面積に注目して、関連する確率法則をよりよく視覚化するために、この確率密度をプロットする習慣が身に付きます。

統一法

密度の法則の最も単純なケースは均一の法則です。の価値観b]。描画できるヒストグラムは、同じ高さの長方形が連続したものになります。したがって、確率密度は定数関数 k です。区間 [a; b] は k(b – a) の値になります。この領域は 1 でなければならないため、k = 1/(ba) となります。

間隔 [c; d] ([a ; b] に含まれる) は k(d – c) = となります。

その他の法律

私たちも会います

• 指数関数の法則は老化しない寿命とも呼ばれます
• 正規法則。ラプラス ガウスの法則、ガウス正規法則、またはガウスの法則とも呼ばれます。

これら 2 つの法則は、制約条件下での最大エントロピー分布に関するものでもあります。1 つ目は、課される唯一の制約が平均である場合、 2 つ目は、平均と分散が課される場合です。この特性は、それらの一般的な性質を示しています。これらの制約に従うすべての分布の中で、それらは最も偏りが少なく、恣意性が最も少なく、最も一般的で、要するに最も中立です。つまり、関連性に関して追加情報を導入しない (したがって恣意的) 分布です。与えられたものに。

期待値、分散、標準偏差

長方形法を使用して積分を近似する方法では、連続統計変数の場合、平均と分散を定義する和の限界まで通過した結果として期待値と分散が積分として定義されます。

統計系列の平均から、次の式を使用して X の期待値を導き出します。

$$ {E(X) = \int_{\mathbb{R}} f(x).x.dx} $$

積分が存在する場合

次に、分散は、頻度による分散の公式から類推して次のように記述されます。

$$ {V(X) = \int_{\mathbb{R}} f(x).(x – E(X))^2.dx = \left(\int_{\mathbb{R}} f(x).x^2.dx\right) – (E(X))^2} $$

積分が存在する場合。

標準偏差は常に分散の平方根のままです。

分布関数

分布関数は、 R上で F(x) = p(X ≤ x) によって定義される関数 F です。

密度変数の場合、+ ∞ の極限が 1 である f の逆導関数です。

確かに

中央値

分布関数 F が連続で厳密に増加している場合、これは ]0 上のRの全単射を定義します。 1[。したがって、F(M) = 1/2 となるような固有の値 M が存在します。この値は確率変数 X の中央値と呼ばれます。p(X ≤ M) = p(X > M) = 0.5 を満たします。

可算無限の値を持つ確率変数の場合

このケースは初等数学の範囲を超えていますが、それでも言及する価値があります。これらの変数は、n 値を取る離散変数、大きな n および連続変数の間のリンクを形成します。

Nのすべての i に対して p _X ( _xi ) を定義することが可能です。

Nの値を持つ確率変数に関する最もよく知られた法則は次のとおりです。

• ポアソンの法則
• 幾何学の法則