指数法則について詳しく解説

導入

指数関数的
設定
サポート	$$ {[0, \infty[\!} $$
確率密度(質量関数)	λ e − λ x
分布関数	1 − e − λx
希望	$$ {\dfrac{1}{\lambda}\,} $$
中央値（中央）	$$ {\dfrac{\ln(2)}{\lambda}\,} $$
ファッション	$$ {0\,} $$
分散	$$ {\dfrac{1}{\lambda^2}\,} $$
非対称性（統計）	$$ {2\,} $$
尖度 (標準化されていない)	$$ {9\,} $$
エントロピ	$$ {1 – \ln(\lambda)\,} $$
モーメント発生機能	$$ {\left(1 – \dfrac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,} $$
特徴的な機能	$$ {\left(1 – \dfrac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,} $$

指数則は次のモデルに対応します。

X は、現象の存続期間を定義する確率変数です。現象の平均余命が E(X) で、その寿命が老化しない場合、つまり、時間T を超えた寿命が時間 T に依存しない場合、X は確率密度 を持ちます。

• t < 0 の場合、 f ( t ) = 0
• $$ {f(t) = \dfrac{1}{E(X)}\mathrm{e}^{-\frac{t}{E(X)}}} $$
  すべて t ≥ 0。

X はパラメータの指数法則に従うと言います。

より正式には、指数法則を次のように特徴付けることができます。

における価値観の法則

これにより、この特性が指数関数的であることが検証され、あらゆる指数法則がこの確率を検証します。この特性は、指数則の記憶がないことを反映しています。たとえば、以前に現象が発生していない場合、時刻t と t+s の間に発生する確率は、時刻 0 と s の間に発生する確率と同じです。確率をモデル化するために開始時間を忘れても構いません。この特徴付けは、特定の現象が指数分布によってモデル化できることを示すため、重要です。この法則により、とりわけ、放射能や電子部品の寿命をモデル化することが可能になります。

P(X > t)の計算

寿命が t より大きい確率を F(t) と呼ぶと、寿命に老化がないという事実から次の等式が得られます。

$$ {\dfrac{F(T+t)}{F(T)}=F(t)} $$

関数Fは単調で有界であるため、この方程式はFが指数関数であることを意味します。したがって、すべてのtに対して次のような実数のkが存在します。

F ( t ) ^{= ekt} 。

F が1 未満であるため、 kは負であることに注意してください。確率密度f は、すべての t ≥ 0 に対して次のように定義されます。

f ( t ) = − k e ^{k t} 。

X の期待値を計算すると、E(X) に等しくなければなりません。次の方程式が得られます。

$$ {\int_0^{+\infty}-kt.\mathrm{e}^{kt}.dt=E(X).} $$

部分ごとに積分することで積分を計算します。以下を取得します。

$$ {k =- \dfrac{1}{E(X)} = -\lambda.} $$

それで

そして

$$ {f(t)=\dfrac{1}{E(X)} \mathrm{e}^{-\frac{t}{E(X)}}.} $$

範囲

指数法則の特権領域は放射能の領域です (ラザフォードとソディ)。各放射性原子には、指数関数的な法則に従う寿命があります。パラメータ λ は減衰定数と呼ばれます。

平均寿命

を特性時間といいます。

大数の法則により、放射性原子の濃度も同じ法則に従うと言えます。中央値

は、個体数が初期個体数の 50% に増加するのに必要な時間 T に相当し、半減期または期間と呼ばれます。

また、指数法則を使用して電子コンポーネントの寿命をモデル化することもよくあります。

期待値、分散、標準偏差、中央値

X がパラメータ λ の指数法則に従う確率変数の場合

私たちは構造的に、次のことが期待されることを知っています。

。

部分ごとに積分して分散を計算します。以下を取得します。

。

したがって、標準偏差は次のようになります。

。

中央値、つまり P(X>T) = 0.5 となる時間 T は次のようになります。

。