トレースフォーム - 定義 - サイエンス・ハブ

導入

数学では、トレース形式はガロア理論と代数的整数理論に関連する概念です。

体Kの有限拡張L をベクトル空間とみなすと、トレース形式はLの双一次形式として現れます。

代数的整数の環の場合、トレース形式には注目すべき特性があり、その行列式は選択された基数に依存しません。このプロパティを使用すると、整数のリングの判別式を定義できます。

トレース形式は、判別式の概念を通じて、理想クラスのグループの有限性やディリクレの単位定理などの算術的実証を確立することを可能にします。

定義と例

意味

ここで、 Kは可換体、 L は有限次元dの拡張、 l はLの要素、 φ _{l は}xがlxに関連するKベクトル空間Lの準同型性です。

要素lのK上のLの軌跡は、準同型性 φ _lの軌跡に等しい。一般的にはTr _L/Kと呼ばれます。

この定義は、 Kベクトル空間としてのL上の双一次形式の起源です。

K上のLのトレース形式は、 Kベクトル空間Lの双一次形式であり、( l ₁ , l ₂ ) はl ₁のトレースを関連付けます。 l ₂ 。

例

ガウス整数のリングは、 x + iy の形式の整数のリングに対応します。ここで、 xとyは相対整数、 i は虚数単位です。 a (それぞれb ) を α + i .β (それぞれ γ + i δ) に等しいガウス整数とします。底 (1, i ) では、Φ _a 、Φ _bの行列M _a M _bおよびM _{ab に}なります。および φ _{ab は}次と等しくなります。

$$ {M_a = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta &\\ \beta & \alpha &\\ \end{pmatrix}\; ,\quad M_b = \begin{pmatrix} \gamma & -\delta &\\ \delta & \gamma &\\ \end{pmatrix}\; \text{et}\quad M_{ab} = \begin{pmatrix} \alpha\gamma – \beta\delta & -\alpha\delta – \beta\gamma &\\ \alpha\delta + \beta\gamma & \alpha\gamma – \beta\delta &\\ \end{pmatrix}} $$

Ψ がリングの判別式の形式の track とdiscr ( O _K ) の行列を指定すると、次のように推測します。

$$ {\text{Tr}_{\mathbb K/\mathbb Q}(a,b) = 2\alpha\gamma – 2\beta\delta \; ,\quad \Psi = \begin{pmatrix} 2 & 0 &\\ 0 & -2 &\\ \end{pmatrix}} $$

環の判別式

意味

この部分では、 K は有理数体の有限拡張を指定します。 O _{K は}、KのZの積分閉包とも呼ばれる、 Kのすべての代数的整数の環を指定します。代数整数は、その最小 (ユニタリ) 多項式がZに係数を持つ代数的数です。

Z加群とみなされるO _Kの同型写像 α はZに可逆行列式を持つことに注意してください。確かに：

$$ {\text{det}(\alpha\cdot\alpha^{-1})= \text{det}(\alpha).\text{det}(\alpha^{-1})=1\;} $$

したがって、同型写像の行列式は 1 または -1 のいずれかになります。双一次形式の基底を変更しても行列式は変わりません。これにより、次の定義が確立できます。

O _Kの環の判別式は、そのトレース形式の決定式に等しい。

例

ガウス整数のトレース形式の行列表現の知識により、判別式の計算が可能になります。

$$ {\Psi = \begin{pmatrix} 2 & 0 &\\ 0 & -2 &\\ \end{pmatrix}\quad \text{et}\quad \text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K}) = \det (\text{Tr}_{\mathbb K/\mathbb Q})=-4} $$

リング判別式は -4 に等しくなります。別の方法で計算することも可能です。多項式X ² + 1 を使用すると、ガウス有理数の本体Kを定義できます。確かに、 K は、 X ² + 1 によって生成されたイデアルによる有理係数をもつ多項式の環Q [ X ] の商と同型です。多項式X ² + 1 の判別式も、環の判別式に等しいです。このプロパティは一般的なものです。

二次場の閉包の判別式の計算は、二次場の整数の環の理想に関する記事の関連記事に記載されています。この特定のケースはより単純であり、この概念の興味に対する教訓的なアプローチを可能にします。

プロパティ

理想との差別化

前の定義は、 OK _Kのサブリングに適用されます。次の命題により、その判別式を計算できます。

O Kの部分環 M の判別式は_次の式で与えられます。

$$ {\text{discr}({\mathfrak M}) = \mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)^2.\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})\;} $$

理想的なM はO _Kと同じ次元のZモジュールです。したがって、 MにはZモジュールとしてO _Kの全単射線形写像f が存在します。証明はNorm (算術) の記事で説明されています。 F をO _Kの基底Bにおけるfの行列とし、 xとy Mの 2 つのベクトル、 XおよびY のMの基底における列ベクトル、 fによるBのイメージとします。行列の等価性が得られます。

$$ {\text{Tr}(x, y) = ^t(F.X)T(F.Y)= ^tX(^tF.T.F)Y\;} $$

私たちは次のように推測します。

$$ {\text{discr}({\mathfrak M}) = \det(^tF.T.F) = \det(F)^2.\det(T) = \mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)^2.\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})\;} $$

判別式と多項式

OK _Kリングの判別式の定義は、不定数を含む多項式の判別式の定義とは大きく異なります。それでも、2 つの定義には相関関係があります。

A をO _Kの部分環、 a を環の生成要素とする。つまり、 aによって生成されるZ代数Z [ a ] は環Aに等しい。 P ( X ) をaの最小多項式とする。次の命題は、2 つの判別式間の関係を示しています。

Aの判別式は、 a の最小多項式 P ( X )の判別式に等しい。

まずP ( X ) が既約で分離可能な多項式であることに注目しましょう。実際、 P ( X )がその因数の1 つで既約でない場合、次数はP (さらに、有理数の場は完全です。これは、最小多項式が二重根を決して許さないことを意味します。

d を環Aの次元とすると、族 (1, a , a ² , …, a ^d-1 ) はAの基底です。プロパティに関する段落のドロップダウンボックスと同様に、前の基底のトレース形式の行列Mと、 Qベクトル空間KとKの分解体DのDベクトル空間テンソル積E を考えてみましょう。。前の実証は、行列Mの準同型性がEで対角化可能であること、およびA が(λ _k ⁱ ) に等しい場合、トレース形式の行列表現はAとAの転置の積であることを示しています。ここで、 λ _{k は}k 番目を示します。 P ( X )^のルート。ヴァンデルモンド行列の行列式を計算すると、次のことがわかります。

$$ {\det A = \prod_{i

多項式P ( X ) の支配的な単項式の係数は1に等しいため、最小多項式の判別式の式が正確に見つかり、これで実証が完了します。

トレースフォーム – 定義

導入

定義と例

意味

例

環の判別式

意味

例

プロパティ

理想との差別化

判別式と多項式

参考資料

トレースフォーム – 定義・関連動画