特性多項式について詳しく解説

線形代数では、正方行列または有限次元ベクトル空間の準同型性は、特性多項式と呼ばれる多項式に関連付けられます。
これには、固有値、行列式、トレースなど、行列または準同型性に関する重要な情報が含まれています。

モチベーション

次数nの正方行列Mが与えられた場合、根が正確にMの固有値である多項式を見つけたいとします。

Mが対角行列、より一般的には三角行列の場合、 Mの固有値、λ ₁ 、…、λ _{n は}Mの対角係数であり、 特性多項式を次のように定義できます。

$$ {(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\ldots(X-\lambda_n)\quad} $$

この多項式は行列式det( X I _n − M )であることがわかります。ここで、 I _nは単位行列です。

任意の行列Mについて、 λ がMの固有値である場合、 MV = λ V 、つまり (λ I _n − M ) V = 0 となる非ゼロの固有列Vが存在することがわかります (ここで、 I _nはV がゼロではないため、これは行列 λ I _n – Mが特異であり、したがって行列式が 0 であることを意味します。 Mの固有値が関数λのゼロであることを証明したところです。 det( λ・I _n − M )または多項式det( X I _n − M )の根。

正式な定義

M を可換リング内の係数を持つ次数nの正方行列とします。 p _M ( X ) で示されるMの特性多項式は、次のように定義される多項式です。

ここで、 I _{n は}次数nの単位行列を示します。行列の行列式は積の和として定義されるため、 p _{M は}確かに多項式です。

気づいた

特性多項式をdet( M − X I _n )として定義する著者もいますが、2 つの多項式は符号が 1 つだけ異なるため、これは重要ではありません。特性多項式がユニタリとなるように、他の定義を選択しました。

例

行列の特性多項式を決定したいとします。

$$ {M=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}} $$

行列の行列式を計算する必要があります

$$ {XI_2-M = \begin{pmatrix} X-2&-1\\ 1&X \end{pmatrix}} $$

そしてこれは次と等しい

$$ {(X-2)(X)-1(-1) = X^2-2X+1\quad} $$

この最後の多項式は、 Mの特性多項式です。

次の式も使用できます

$$ {X^2 – \operatorname{tr}(M)X + \det(M)\quad} $$

次元(2,2) の行列の場合。

プロパティ

多項式p _M ( t ) はユニタリ (支配的な係数は 1 に等しい) であり、その次数はnに等しい。特性多項式の最も重要な特性は、 Mの固有値が_{まさに多項式}p -1) の根であり、 Mの行列式をⁿ倍したものであり、 X ^{n -1}の係数が次のトレースの逆に等しいということです。 M.

次数 2 の行列Mの場合、特性多項式は単純に次のように表されます。

$$ {X^2 – \operatorname{tr}(M)X+ \det(M)} $$

ここで、 tr( M ) はMの行列のトレースを表し、 det( M ) はMの行列式を表します。

次数 3 の行列Aの場合、特性多項式は単純に次のように表されます。

$$ {X^3 – \operatorname{tr}(A)X^2 + Z(A)X – \det(A)} $$

または

$$ {Z(A)= -\frac{1}{2}\Bigl(\operatorname{tr}(A^2) – \bigl(\operatorname{tr}(A)\bigr)^2\Bigr) = (a_{1,1} a_{2,2} + a_{1,1} a_{3,3} + a_{2,2} a_{3,3} ) – ( a_{2,1} a_{1,2} + a_{3,1} a_{1,3} + a_{3,2} a_{2,3})} $$

、

a _{i , jは}行列Aの位置 (i, j) の要素です。

一般に、次数 n では、最大次数の項のみが対象となり、次のようになります。

$$ {X^n – \operatorname{tr}(A) \times X^{n-1} + … + (-1)^n \times \det(A)} $$

ケイリー–_{ハミルトン}の定理は、​_​したがって、最小多項式がMの特性多項式を分割することを証明することができます。

2 つの類似した行列は、同じ特性多項式を持ちます。逆は一般に当てはまりません。同じ特性多項式を持つ 2 つの行列は、必ずしも類似しているとは限りません。

行列Mとその転置は同じ特性多項式を持ちます。

行列M は、その特性多項式が次数 1 の係数と次数の係数の積に完全に分解できる場合に限り、三角行列に似ています。

実際、この場合、 M はジョルダン行列にさえ似ています。

コンパニオンマトリックス

どちらか

$$ {M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & 1 \\ a_0 & a_1 & a_2 & \ldots &a_{n-2} & a_{n-1} \end{pmatrix}} $$

p(X) を特性多項式 (および最小多項式) として認めるものは、多項式の随伴行列(または特定の著作によれば、その転置行列) と呼ばれます。数値計算で多項式の根の近似値を計算する方法の 1 つは、コンパニオン行列を構築し、その後反復法を使用してこの行列の固有値の近似値を計算することです。