導入
数学では、実数のさまざまな構造があり、その中で最もよく知られているのは次の 2 つです。
- デデキントのカット、
- コーシーの続編。
10 進数から直感的に構築
実数は、 10 進表現 x = n + 0 を持つ数量です。 d 1 d 2 d 3 …ここで、 nは整数、各d i は0 から 9 までの数字であり、シーケンスは終了しません。 9 という無限大によるものではありません。 xの定義は、すべてのkについてこの二重不等式を満たす数になります。
- $$ {n + \dfrac{d_1}{10} + \dfrac{d_2}{100} + … + \dfrac{d_k}{10^k} \leq x < n + \dfrac{d_1}{10} + \dfrac{d_2}{100} + … + \dfrac{d_k}{10^k} + \dfrac{1}{10^k}} $$
この構造は、この形式の厳密さの欠如とは別に、さまざまな欠点をもたらします。その中で最も重要なのは、乗算、さらには次のような場合の加算の単純なアルゴリズムを与えるのが難しいことです。
$$ {0,333\dots+0,666\dots} $$
。Cauchy スイートによる構築
この構造はアプローチがより困難ですが、操作の構造はより自然です。この方法は、形式的には、計量空間Eから、 EがE’内で密になるような完全な計量空間E’を取得することを可能にする構築方法に似ています。
コーシー数列について話す方法とその理由
悪循環のペナルティの下で、完全に順序付けられた本体K 、値を持つ距離をアプリオリに定義することに疑問の余地はありません…
$$ {\R} $$
、まだ定義されていません。したがって、コーシー数列と収束数列の 2 つの概念は、(ここ、特に「2 つの構造の等価性」の段落で) 計量空間におけるコーシー数列と収束数列という通常の意味ではなく、次の意味で解釈される必要があります。意味：続き$$ {(a_n)\,} $$
Kで- コーシーからの場合
$$ {\forall\varepsilon\in K_+^*\ \exists N\in\N\ \forall m,n\ge N,\ |a_n-a_m|<\varepsilon,} $$
- if要素に収束します
$$ {\forall\varepsilon\in K_+^*\ \exists N\in\N\ \forall n\ge N,\ |a_n-a|<\varepsilon,} $$
すべてはどこへ
$$ {x\in K} $$
、要素$$ {|x|\in K} $$
は 2 つの要素xと− xの大きい方を示します。コーシー数列と収束数列のこれら 2 つの定義 – どちらが正しいか
$$ {\R} $$
通常の定義に事後的に対応します – 順序付けられた群 ( K ,+, $$ {\le} $$
）そしてそれが誘発する秩序のトポロジーへ。一様空間の完全性は、そのコーシー数列の収束を意味します。逆に、一般に false は、物体Kがアルキメデスの場合 (および$$ {\R} $$
になります）。これは、次のことを示す簡単な基準を提供します。 $$ {\R} $$
距離空間の通常の構造を与える前であっても、（均一空間として）完成しています。また、 Kがアルキメデスの場合、 $$ {\varepsilon} $$
これらの定義に介入するものはいつでも取り込むことができます$$ {\Q_+^*} $$
。集合としての定義
カントールのアイデア (そして彼の数年前のメレーも) は、コーシー数列によって任意の実数に到達できるという事実にあります。
$$ {\Q} $$
。意味を与える必要がある制限要素は、実数として定義されます。コーシーのスイートのすべて$$ {\Q} $$
、これに注意してください$$ {\mathcal C} $$
ただし、あまりにも広大すぎるように見えます。実際、たとえば、特定の有理数に対して、この制限に向かって収束する無限のコーシー数列が存在します。このセットを商する必要があります$$ {\mathcal C} $$
同値関係により$$ {\mathcal R} $$
数列間: 有理数の 2 つのコーシー数列は、それらの差が 0 に収束する場合 (数列の収束) は同等であると言われます。 $$ {\Q} $$
上記で定義した意味とコーシーであるという性質を持ち、0 に向かって: $$ {(u_n) \mathcal R (v_n) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}(u_n-v_n)=0.} $$
この関係
$$ {\mathcal R} $$
は確かに同値関係です。- null シーケンスは 0 に収束するため、再帰的です。
- 対称であるのは、ある数列が 0 に収束すると、反対の数列も 0 に収束するためです。
- の絶対値の三角不等式による推移的$$ {\Q} $$。 ( un ) 、 ( vn ) 、および( wn )が 3 つの有理数列である場合、実際には次のようになります。
$$ {\forall n\in\N,\ |u_n -w_n|\leq |u_n – v_n|+|v_n – w_n|.} $$
次に定義します
$$ {\R} $$
有理数のコーシー数列の同値クラスの集合として (この同値関係の場合) $$ {\mathcal R} $$
の上$$ {\mathcal C} $$
）。運営
のすべてのスイート
$$ {\Q} $$
の本体構造から受け継いだ加算と乗算を備えた可換な環構造が自然に提供されます。 $$ {\Q} $$
。 ( u n )と( v n )が 2 つのシーケンスの場合、これらの演算は次のように定義されます。 $$ {\forall n\in\N,\ (u+v)_n=u_n+v_n} $$
$$ {\forall n\in \N,\ (u\cdot v)_n=u_n\cdot v_n.} $$
これらの演算では、コーシー基準が維持されます。つまり、2 つのコーシー シーケンスの和と積は依然としてコーシー シーケンスです。合理的に値付けされたシーケンスのリングでは、サブセットは
$$ {\mathcal C} $$
したがって、 はサブリングです。このリングで
$$ {\mathcal C} $$
、0 に向かって収束するシーケンスのサブセットは理想的です (つまり、0 に向かって収束する 2 つのシーケンスの和と、コーシー シーケンスによって 0 に収束するシーケンスの積が 0 に収束します)。等価関係$$ {\mathcal R} $$
したがって、この理想に関連付けられたものとして表示されます。 $$ {\R} $$
商環構造 (依然として可換性と単一性) の。ダイビングします
$$ {\Q} $$
で$$ {\R} $$
定常シーケンスを介して。以下に等しい定数シーケンスを含むクラスを( a )と表します。 $$ {a\in\Q} $$
。商リング
$$ {\R=\mathcal C/\mathcal R} $$体です。
これには、ゼロ以外の実数が逆数を許容することを示すことが含まれます。の要素を持たせましょう
$$ {\R} $$
(0) とは異なります$$ {(a_n)\;} $$
このクラスのシーケンスa 。クラスaがクラス (0) と異なるということは、次のシーケンスが存在することを意味します。 $$ {(a_n)\;} $$
は 0 に収束しません。これは次のように記述されます。 $$ {(1)\qquad\exists\varepsilon\in\Q_+^*\ \forall N\in\N\ \exists n\ge N,\ |a_n|\ge\varepsilon,} $$
またはもう一度: 特定の場合
$$ {\varepsilon\in\Q_+^*} $$
、シーケンス内には、絶対値が より大きい項が無数にあります。 $$ {\varepsilon} $$
。この数列は Cauchy からのものであるため、特定のランクNから、2 つの項の差の絶対値は より小さくなります。 $$ {\varepsilon/2} $$
。 (1) を使用して次のように推測します。 $$ {(2)\qquad\forall n\ge N,\ |a_n|\ge\varepsilon/2.} $$
シーケンス( b n )を次のように定義します。
$$ {b_n=\dfrac{1}{a_n}} $$
もし$$ {n\ge N} $$
それ以外の場合は (たとえば) b n = 0となります。この有理数のシーケンスは Cauchy からのものです。なぜなら、(2) によれば、 $$ {\forall m,n\ge N,\ |b_n-b_m|=\frac{|a_m-a_n|}{|a_ma_n|}\le \frac 4{\varepsilon^2}|a_m-a_n|.} $$
したがって、そのクラスb を次のように考えることができます。
$$ {\R} $$
、そして私たちは持っています
注文
私たちは定義します
$$ {\R_+} $$
の値を持つ少なくとも 1 つの Cauchy シーケンスを含むクラスのサブセットとして$$ {\Q_+} $$
(正またはゼロの有理数のセット)、次に、次の全順序関係を定義します。 $$ {\R} $$
ポーズをとることで- $$ {x \leq y \Leftrightarrow y – x \in \R_+.} $$
この関係が再帰的かつ推移的であるという事実はすぐにわかります。それが反対称でもある（したがって順序が明確に定義される）ということは、次の事実から生じます。
$$ {\R_+\cap -\R_+=\{(0)\}} $$
。この注文が合計であることの由来は、 $$ {\R_+ \cup -\R_+= \R} $$
。このようにして私たちは体を提供しました
$$ {\R} $$
完全に秩序だった身体構造。実際、この順序は加算 (構造上) と互換性がありますが、乗算とも互換性があります (なぜなら、 $$ {\R_+} $$
製品によって明らかに安定しています）。この順序関係が一致していることに気付きます。 $$ {\mathbb Q} $$
(飛び込んだ$$ {\R} $$
すでに述べたように)、通常の順序関係で。さらに次のことを実証します
$$ {\R} $$
アルキメデスです。したがって、次のように結論付けることができます。$$ {(\R,\le)} $$完全に秩序化されたアルキメデス体です。
- $$ {\le} $$
これはそれを証明するためのものです
$$ {\R_+\cap -\R_+=\{(0)\}} $$
。させて$$ {a,b\in\R_+} $$
a = − bである場合、 a = (0)であることを示しましょう。それぞれaとb を表す正またはゼロの有理数の 2 つのコーシー数列( a n ) 、 ( b n )が存在します。次に、 a + b = (0) は次のように変換されます: ( a n + b n )は 0 に収束します。 $$ {\Q} $$
、これ（以来$$ {0\le a_n\le a_n+b_n} $$
) により( a n )も 0 に収束するため、 a = (0)になります。- 注文$$ {\le} $$
これはそれを証明するためのものです
$$ {\R_+\cup -\R_+=\R} $$
。させて$$ {a\in\R} $$
( a n )このクラスを表す有理数のコーシー列。このシーケンスが無限の正またはゼロの項を許容する場合、対応するサブシーケンスは同じクラスを表すため、次のようになります。 $$ {a\in\R^+} $$
。 「ポジティブ」を「ネガティブ」に置き換えても同じです。 $$ {\R_+} $$
による$$ {-\R_+} $$
。これら 2 つの (限定的ではない) ケースはすべての可能性をカバーしています。 - $$ {\R} $$
$$ {a > 0\,} $$
完全
の上
$$ {\R} $$
、今定義した順序は、コーシー数列と収束数列の概念に意味を与えます。すべての実数が一連の有理数の極限であることを示します。より正確には、コーシーの有理数列( a n )が実数a を表す場合、実数列(( a n ))は次のように収束します。 $$ {\R} $$
に向かって。したがって、コーシーの有理数列はすべて次のように収束します。 $$ {\R} $$
。これが実数のコーシー列にも当てはまることを示します。
$$ {\Q} $$密集している$$ {\R} $$そして$$ {\R} $$完了です。
- コーシーの有理数列は次のように収束します。 $$ {\R} $$
$$ {\varepsilon>0} $$
$$ {\forall n\ge N,\ \varepsilon-|A_n-A|\in\R_+.} $$
これを行うには、コーシー基準をシーケンス( a n )に適用するだけで十分です。
$$ {\forall m,n\ge N,\ |a_n-a_m|\le\varepsilon} $$
だからすべてについて$$ {n\ge N} $$
、有理数のシーケンス$$ {(\varepsilon-|a_n-a_m|)_m} $$
ランクNからは正またはゼロであるため、クラス$$ {\varepsilon-|A_n-A|} $$
それが表すものは$$ {\R_+} $$
。- で$$ {\R} $$
( U n )を実数のコーシー列とします。目的は、この列が次のように収束することを証明することです。
$$ {\R} $$
。すべての現実は合理性に限定されることを以前に見ました。したがって、任意の整数n > 0 に対して、次のような有理数a n を選択できます。 $$ {|U_n-a_n|\le 1/n} $$
。その後、数列( U n − a n ) は0 に収束します。したがって、数列( a n )は( U n )と同様、コーシーになります。したがって、そのクラスを考慮することができます。これをU で表すことにします。 ( a n ) はUに収束し、 ( U n − a n ) は0 に収束するため、数列( U n )はUに収束します。
参考資料
- إنشاء الأعداد الحقيقية – arabe
- Construcció dels nombres reals – catalan
- Construction of the real numbers – anglais
- Axiomas de los números reales – espagnol
- בניית המספרים הממשיים – hébreu
- Konstruksi bilangan real – indonésien